第五章 常用概率分布
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1
λ=1
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
λ=3
0.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
λ=6 λ=10
图4-3 ?取不同值时的Poisson分布图
由图4-3可以看到Poisson分布是非对称的，总体参数?值越小，分布越偏；随着?增大，分布趋向对称。
Poisson分布有以下特性：
（1）Poisson分布的总体均数与总体方差相等，均为?。
（2）Poisson分布的观察结果有可加性。若从总体均数为?1的Poisson分布总体中随机抽出一份样本，其中稀有事件的发生次数为X1，再独立地从总体均数为?2的Poisson分布总体中随机抽出另一份样本，其中稀有事件的发生次数为X2，则它们的合计发生数T?X1?X2也服从Poisson分布，总体均数为?1??2。
上述性质还可以推广到多个Poisson分布的情形。例如，从同一水源独立地取水样5次，每次1 ml，进行细菌培养，每次水样中的菌落数分别为Xi(观察单位是1 ml)，i?1,?5，均服从Poisson分布，分别记为P(?i)，i?1,?,5，那么把5份水样混合，其合计菌落数?Xi也服从Poisson分布(观察单位是5 ml)，且总体参数为?1??2????5，记为P(?1??2????5)。
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第五章 常用概率分布
医学研究中常利用Poisosn分布的可加性，将小的观察单位合并，来增大发生次数X，以便分析。
三、Poisson分布的应用
1. 概率估计
例4-7 以往实验显示某地100cm2的培养皿中平均菌落数为6个。今用100cm2的培养皿进行培养，试估计该培养皿菌落数等于3个的概率。
这里的观察单位是培养皿（100cm2），理论上一个培养皿中菌落数等于3个的概率为
63P(X?3)?e?0.089
3!?6例4-8 如果某地居民脑血管疾病的患病率为150/10万，那么调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概率有多大？
脑血管疾病的患病率为? = 150/10万，调查人数n=1000，则患病人数X是服从n=1000、患病率为150/10万的二项分布。因为150/10万较小，n=1000较大，将1000名居民看作是一个观察单位，因此，平均1000人中有1000×150/10万＝1.5个患者。因此，也可以认为1000名居民中患脑血管疾病的人数近似地服从Poisson分布，且
λ=n?=1000×0.0015=1.5
依公式（4-12），得
P(X?2)?e?1.51.52?0.251 2!即调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概率为25.1％。
2. 累积概率计算
与二项分布问题相同，Poisson分布也经常需要计算累积概率。如果稀有事件发生次数的总体均数为λ，那么该稀有事件发生次数至多为k次的概率为
P(X?k)??P(X)??eX?0X?0kk???XX! （4-13）
发生次数至少为k次的概率为
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第五章 常用概率分布
P(X?k)?1?P(X?k?1) （4-14）
例4-9 续例4-7。试估计每一个培养皿中菌落数小于3个的概率，大于1个的概率。
该培养皿菌落数小于3个的概率为
e?66Xe?660e?661e?662P(X?3)??P(X)?????X!0!1!2! X?0X?0 ?0.06222菌落数大于1个的概率为
e?660e?661P(X?1)?1?P(X?0)?P(X?1)?1??0!1!
?0.983 例4-10 续例4-8。试估计1000名居民中至多有2人患脑血管疾病的概率有多大？至少有3人患脑血管疾病的概率有多大？
至多有2人患脑血管疾病的概率为
e?1.51.5Xe?1.51.50e?1.51.51e?1.51.52P(X?2)??P(X)??????0.809
X!0!1!2!X?0X?022至少有3人患脑血管疾病的概率为
P(X?3)?1?P(X?2)?1?0.809?0.191
Poisson分布与二项分布的一个前提条件是事件发生的概率?不变，每个事件发生与否是相互独立的。若n次观察互不独立、发生概率不等，则不能看作二项分布。例如，在某社区，传染性疾病首例出现后便成为传染源，会增加该社区后续病例出现的概率，且随着病例数的增加，其他易感人群感染的概率增加，因此病例数的分布不能看作是二项分布或Poisson分布；又如，污染的牛奶中细菌成集落存在，单位容量牛奶中细菌数不能认为服从Poisson分布；再如，钉螺在繁殖期成窝状散布，单位面积中钉螺数的观察结果不是独立的，因此也不能认为服从Poisson分布。
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第五章 常用概率分布
第三节 正态分布 一、
正态分布的概念
正态分布是统计学的基本理论分布之一，也是自然界最常见的分布之一。例如，测量的误差、人体许多生化指标的测量值等等都可认为近似服从正态分布。此外，正态分布具有许多良好的性质，许多理论分布在一定条件下可用正态分布近似，一些重要的分布可由正态分布导出。可以说正态分布是统计学中最重要的分布。正态分布具有什么样的特征呢？ 请观察表4-3和表4-4两个频率分布表。
表4-3 某地正常成人心率（次/分）
的频率分布表
组段 45—
50— 55— 60— 65— 70— 75— 80— 85— 90— 95— 100—105 合计
频数 1 5 12 13 26 31 24 15 9 7 5 2 150
频率(%) 0.67 3.33 8.00 8.67 17.33 20.67 16.00 10.00 6.00 4.67 3.33 1.33 100.00
组段 1.228― 1.234― 1.240― 1.246― 1.252― 1.258― 1.264― 1.270― 1.276― 1.282― 1.258― 合计
表4-4 （体模）骨密度测量值（mg/cm3）
的频率分布表
频数 2 2 7 17 25 37 25 16 4 1 37 175
频率(%) 1.14 1.14 4.00 9.71 14.29 21.14 14.29 9.14 2.29 0.57 21.14 100.00
表4-3与表4-4的共同点是中间频数最多，两边频数渐少且近似对称。为直观起见将表4-4 数据绘成一幅特殊的直方图（图4-4），以各长方形面积代表各组段的频率，直条的高度相当于频率除以组距，称之为频率密度，这张图称为频率密度图。可以设想，如果观察人数逐渐增多，组段不断分细，直条的宽度将逐渐变窄，其顶端逐渐接近于一条光滑的曲线，这条曲线称为频率密度曲线。该曲线表现为中间高，两边低，左右对称，好似钟形，颇象数学上的正态分布曲线。因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积恒等于1。
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