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解析 对于①，?x1，x2∈R，f(x1＋x2)＝2(x1＋x2)＋3＜2(x1＋x2)＋6 ＝f(x1)＋f(x2)，故①满足条件；
?11?对于②，?x1，x2∈?－，?， ?22?
222
f(x1＋x2)＝x21＋x2＋2x1x2，f(x1)＋f(x2)＝x1＋x2，当x1x2＞0时，不满足f(x1＋x2)≤f(x1)＋
f(x2)，故②不是“定义域上的M函数”；
?11?对于③，?x1，x2∈?－，?，
?22?
??所以2xx≤22
f(x1＋x2)＝x2f(x1)＋f(x2)＝x2因为x1，x2∈?－，?，1＋x2＋2x1x2＋1，1＋x2＋2，12
22
?
?
＜1，故f(x1＋x2)＜f(x1)＋f(x2)，故③满足条件；
π
对于④，?x1，x2∈[0，]，f(x1＋x2)＝sin x1cos x2＋sin x2cos x1≤sin x1＋sin x2＝f(x1)
2＋f(x2)，故④满足条件；
对于⑤，?x1，x2∈[2，＋∞)，f(x1＋x2)＝log2(x1＋x2)，f(x1)＋f(x2)＝log2(x1x2)，因为
11
12
x1，x2∈[2，＋∞)，所以＋≤1，可得x1＋x2≤x1x2，即f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，故⑤
x1x2
满足条件．
所以是“定义域上的M函数”的有①③④⑤，共4个． 14．(2＋22，＋∞)
解析 设点(m，n)(m＞0)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的
??n＝m＋1，
对称点(－m，－n)必在该函数图象上，故?
?－n＝k－m＋1?
2
2
11
，
消去n，整理得m－km＋k＋1＝0.若函数f(x)有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，
Δ＝k2－4k＋1＞0，??
得?k＞0，??k＋1＞0，
解得k＞2＋22.
2
故实数k的取值范围是(2＋22，＋∞)． 15．解 若p正确，即f(x)＝
2
在区间(1，＋∞)上是减函数，则m≤1. x－m若q正确，∵x1，x2是方程x－ax－2＝0的两个实根，a∈[－1,1]， ∴|x1－x2|＝5
x1＋x2
2
－4x1x2＝a＋8≤3.
2
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∵不等式m＋5m－3≥|x1－x2|对任意实数a∈[－1,1]恒成立， ∴m＋5m－3≥3，∴m＋5m－6≥0， 解得m≥1或m≤－6. 又p不正确，q正确，
??m＞1，∴?
?m≥1或m≤－6，?
2
2
2
∴m＞1.
故实数m的取值范围是{m|m＞1}． 116．解 (1)若a＝，
21
则A＝{x|－＜x＜2}，
2又B＝{x|0＜x＜1}， ∴A∩B＝{x|0＜x＜1}． (2)当A＝?时，a－1≥2a＋1， ∴a≤－2，此时满足A∩B＝?； 当A≠?时，则由A∩B＝?，
B＝{x|0＜x＜1}，
??2a＋1＞a－1，易得?
??a－1≥1
??2a＋1＞a－1，
或???2a＋1≤0，
1
∴a≥2或－2＜a≤－.
2综上可知，实数a的取值范围为
??1
?a|a≤－或a≥2?.
2??
1
17．解 (1)由t＝log3x，x∈[，9]，解得－2≤t≤2.
9(2)f(x)＝(log3x)＋3log3x＋2， 令t＝log3x，则f(x)＝t＋3t＋2 321
＝(t＋)－，t∈[－2,2]．
2433当t＝－，即log3x＝－，
22即x＝
31时，f(x)min＝－； 94
2
2
当t＝2，即log3x＝2， 6
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即x＝9时，f(x)max＝12.
18．解 (1)由题意知，方程x－x－m＝0在x∈(－1,1)上有解，故m的取值集合就是函数
2
y＝x2－x在(－1,1)上的值域，易得M＝{m|－≤m＜2}．
(2)因为“x∈M”是“x∈N”的充分条件，所以M?N. 当a＝1时，集合N为空集，不满足题意；
当a＞1时，a＞2－a，此时集合N＝{x|2－a＜x＜a}， 1??2－a＜－，4则?
??a≥2，
1
4
9
解得a＞；
4
当a＜1时，a＜2－a， 此时集合N＝{x|a＜x＜2－a}， 1??a＜－，4则???2－a≥2，
1
解得a＜－. 4
综上可知，实数a的取值范围为 91{a|a＞或a＜－}．
44
19．解 (1)当60≤x≤90时，y＝750x－1 725， 当90＜x≤300时，y＝[750－3(x－90)]x－1 725， 故f(x)＝
??750x－1 725，60≤x≤90，?2
?－3x＋1 020x－1 725，90＜x≤300.?
(2)对于y＝750x－1 725,60≤x≤90， ∵y在[60,90]上单调递增， ∴当x＝90时，ymax＝65 775(元)．
对于y＝－3x＋1 020x－1 725＝－3(x－170)＋84 975，90＜x≤300，x∈N， 当x＝170时，ymax＝84 975(元)． ∵84 975＞65 775，
∴当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多． 20．解 (1)当a＝－1时，
2
2
*
f(x)＝x2＋(x－1)|x＋1|，
7
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??2x－1，x≥－1，
则f(x)＝?
?1，x＜－1.?
2
2
当x≥－1时，由f(x)＝1，得2x－1＝1，解得x＝1或x＝－1； 当x＜－1时，f(x)＝1恒成立． ∴方程的解集为{x|x≤－1或x＝1}． (2)由题意知f(x)＝
??2x－a＋1x＋a，x≥a，
?
?a＋1x－a，x＜a.?
2
若f(x)在R上单调递增，
a＋1??≤a，
4则???a＋1＞0，
1
解得a≥.
3
1
∴实数a的取值范围为{a|a≥}．
3(3)设g(x)＝f(x)－(2x－3)， 则g(x)＝
??2x－a＋3x＋a＋3，x≥a，?
?a－1x－a＋3，x＜a，?
2
不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立，等价于不等式g(x)≥0对任意x∈R恒成立． ①若a＞1，则1－a＜0，即
2
＜0， 1－a2
取x0＝，此时x0＜a，
1－a∴g(x0)＝g?
?2?＝(a－1)·2－a＋3＝1－a＜0，
?1－a?1－a?
2
即对任意的a＞1，总能找到x0＝，使得g(x0)＜0，
1－a∴不存在a＞1，使得g(x)≥0恒成立． ②若a＝1，则g(x)＝
?2x－4x＋4，x≥1，????2，x＜1，
2
∴g(x)的值域为[2，＋∞)， ∴g(x)≥0恒成立．
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