第二章 命题逻辑
§2.2 主要解题方法
2.2.1 证明命题公式恒真或恒假
主要有如下方法:
方法一. 真值表方法。即列出公式的真值表,若表中对应公式所在列的每一取值全为1,这说明该公式在它的所有解释下都是真,因此是恒真的;若表中对应公式所在列的每
一取值全为0,这说明该公式在它的所有解释下都为假,因此是恒假的。
真值表法比较烦琐,但只要认真仔细,不会出错。
例2.2.1 说明 G= (P恒假还是可满足。
解:该公式的真值表如下:
P Q R PQPR Q (P0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 (PR)Q) 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 QPR G Q
R)
(P
Q)
(P
R)是恒真、
表2.2.1
由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1,故
G恒真。
方法二. 以基本等价式为基础,通过反复对一个公式的等价代换,使之最后转化为一个恒真式或恒假式,从而实现公式恒真或恒假的证明。
例2.2.2 说明 G= ((P
R)
R) (
(Q
P)
P)是恒真、恒假还是可满足。
解:由(P
(Q
P=0
知,((P
G恒假。
方法三. 设命题公式G含n个原子,若求得G的主析取式包含所有2个极小项,则G是恒真的;若求得G的主合取式包含所有2个极大项,则G是恒假的。
方法四. 对任给要判定的命题公式G,设其中有原子P1,P2,…,Pn,令P1取1值,求G的真值,或为1,或为0,或成为新公式G1且其中只有原子P2,…,Pn,再令P1取0值,求G真值,如此继续,到最终只含0或1为止,若最终结果
nn
R) R=P RQ
R=1,以及 P)
P = Q
P
P) P= (
R) R) ( (QP) P)=0,故
全为1,则公式G恒真,若最终结果全为0,则公式G恒假,若最终结果有1,有0,则是可满足的。例子参见书中例2.4.3。 方法五. 注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是:公式G
H是恒真的;公式G,H等价的充要条件是:公式G
H是H
恒真的,因此,如果待考查公式是GH型的,可将证明G
是恒真的转化为证明G蕴涵H;如果待考查公式是G可将证明G
例2.2.3 证明 G= (PR))恒真。 证明:要证明(P恒真,只需证明(P
R) R)
( (Q( (Q
R) R)
(( P(( P
R) ( (Q
R) (( P
H型的,
H是恒真的转化为证明G和H彼此相蕴涵。
Q)
Q) Q)
R)) R))。
我们使用形式演绎法。 (1)P(2)Q(3)(4)(5)((4) (6)((7)
P(PQ)
Q) Q)
R 规则2,根据(5) R 规则2,根据(6)
PQ
R 规则1 R 附加前提
R 规则2,根据(1) R 规则2,根据(2)
Q
R) 规则2,根据(3)、
P R)(
(8)(P R 规则2,根据(7)