（1）标量函数的梯度；（2）求出通过点?1,0?处梯度的大小。 解：（1）对于二维标量场 ?u??u?u?x??y ee?x?y?x?2ye?y ?2xe（2）任意点处的梯度大小为 ?u?2x?y
则在点?1,0?处梯度的大小为： ?u?2
22???x?e?y?3e?z，B?5e?x?3e?y?e?z，求 3. 矢量A?2e??（1）A?B
（2）A?B
?????x?2e?y?4e?z （5分） 解：（1）A?B?7e??（2）A?B?10?3?3?10 （5分）
4. 均匀带电导体球，半径为a，带电量为Q。试求 （1） 球内任一点的电场 （2） 球外任一点的电位移矢量
解：（1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导体表面，由高斯定理可知在球内处处有：
???D?dS?0
S故球内任意一点的电位移矢量均为零，即
?E?0r?a
（2）由于电荷均匀分布在r?a的导体球面上，故在r?a的球面上的电位移矢量的大小处处相等，方向为径向，
??r，由高斯定理有 即D?D0e???D?dS?Q
S2即 4?rD0?Q
?Q?r??整理可得：D?D0ee2r4?rr?a
5. 电荷q均匀分布在内半径为a, 外半径为b的球壳形区域内，如图示：
?0?r?a???（1）求?a?r?b?各区域内的电场强度
?r?b???（2）若以r??处为电位参考点，试计算球心（r?0）处的电位。 解：
（1） 电荷体密度为：??q4?3(b?a3)3v
由高斯定律：
??0E?dS???dV 可得，
s???0?r?a 区域内，E1?0
?? 区域内，a?r?bE2?er??r?b 区域内，E3?er（2）?0?式中，
r3?a3q 2334??0rb?a114??0r2q
?a0??b?????E1?dr??E2?dr??E3?dr
ab?bba??E2?dr?b1qq12133231(r?a)dr?[(b?a)?a(?)] 33?a233ab4??0(b?a)r4??0(b?a)2?????E3?dr??bq4??0rdr?2q4??0b
因此， ?0?q121q231[(b?a)?a(?)]?
ab4??0b4??0(b3?a3)2?2?x?xze?y是否是某区域的磁通量密度？如果是，求相应的电流分布。 6. 矢量函数B??ye解：（1）根据散度的表达式
??Bx?By?Bz?? ??B? （3分） ?x?y?z?将矢量函数B代入，显然有
???B?0 （1分）
故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。 （1分）
（2）电流分布为：
?1?J???B?0（2分）?ze??z0?xe? ??x?y2?1?ye??yxz （2分）?0?x??2y?z?e?z???xe（1分）
7. 设无限长直导线与矩形回路共面，（如图所示），求
（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）； （2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 解：建立如图坐标
?y方向。 （1） 通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即为e（2） 在xoz平面上离直导线距离为x处的磁感应强度可由下式求出：
???B?dl??0I
cz ??I?y0 即： B?e2?x通过矩形回路中的磁通量
x ??d?b????B?dS???S?0I?0Iaddxdz?ln ?2?x2?d?bx?dz??a/2a/2图1
8. 同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b（其厚度可忽略不计），线上流动的电流为I；计算同轴线单位长度
内的储存的磁场能量，并根据磁场能量求出同轴线单位长度的电感。 解：
???0IrB1?e? 0?r?a
2?a2???IB2?e?0 a?r?b
2?r1??1??Wm?Wm1?Wm2??B1?H1dV??B2?H2dVv12v22 22ab?0I?0I11b22 ?B2?rdr?B2?rdr??ln122?0?02?0?a16?16?a而 Wm?故 L?12LI 22Wm?0?0b??ln 8?2?aI2?9. 一无限长实心导线由非磁性材料构成，其截面为圆形，半径R=1mm。在圆柱坐标系下，导体圆柱轴线与Z
轴重合，沿着az方向流过的总电流为100A，且电流在截面内均匀分布。
求：（1）ρ=0.8mm处的磁场强度H为多少？
（2）在导体柱内，每单位长度上的总磁通量Φ为多少？ 解：（1）实心导线产生的磁场在圆柱坐标下仅有HΦ分量，根据安培环路定律，以ρ=0.8mm为半径的圆为积分路径，
??HgdL?I
C??2各点处HΦ分量相同，故积分结果为H?2???I?I 2SR?R?0.8?10?34H??I??100?1.27?10A/m 2?62?R2?3.14?1?10（2）在导体柱内，每单位长度上的总磁通量Φ为
S???BgdS???0H?gdS??dz?SS0?710.0010?0?I?0I12d???222?R2?R20.0010?4??10?100(0.0012?0)?10?5Wb24??0.001