第6讲 幂函数与二次函数
一、选择题
1??
1．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点?4，?，则f(2)＝( )
2??
1
A. B．4 4C.2 2
D.2
??
1?1
?，代入解析式得：α＝－，∴f(2)＝2?2
解析 设f(x)＝xα，因为图像过点?4，
12
2－＝. 22答案 C
f2．若函数f(x)是幂函数，且满足
fA．－3
421
＝3，则f()的值为( )
2
1
B．－
31
D.
3
C．3
解析 设f(x)＝xα，则由
ff424α
＝3，得α＝3.
2
1111
∴2α＝3，∴f()＝()α＝α＝.
2223答案 D
3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为
( )．
A．[2－2，2＋2] C．[1,3]
B．(2－2，2＋2) D．(1,3)
解析 f(a)＝g(b)?ea－1＝－b2＋4b－3?ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－2 ?2x，x>0， 4．已知函数f(x)＝?若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ( )． ?x＋1，x≤0，A．－3 B．－1 C．1 D．3 ???a>0，?a≤0， 解析 f(a)＋f(1)＝0?f(a)＋2＝0??或?解得a＝ ???2a＋2＝0?a＋1＋2＝0，－3. 答案 A 5 .函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－ b对称．据此可推测，对任2a意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是( )． A．{1,2} B．{1,4} C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64} 解析 设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2. 而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－ b对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两2a根也关于x＝－答案 D b4＋161＋64对称．而选项D中≠. 2a22 6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a为正整数，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是 A．3 B．4 C．5 D．6 ( )． 解析 由题意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.当a越大，y＝f(x)的开口越小，当a越小，y＝f(x)的开口越大，而y＝f(x)的开口最大时，y＝f(x)过(0,1)，(1,1)， b1 则c＝1，a＋b＋c＝1.a＋b＝0，a＝－b，－2a＝2，又b2－4ac>0，a(a－4)>0，a>4，由于a为正整数，即a的最小值为5. 答案 C 二、填空题 7．对于函数y＝x，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型． 其中正确的有________． 解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案 ①②⑤⑥ 8．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________． a>0，?? 由已知得?4ac－16 ??4a＝0 2 12解析 1 ??a>0，?? ??ac－4＝0. 答案 a>0，ac＝4 9．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________． ?α＋β＝m， 解析 ∵? ?α·β＝1， ∴m＝β＋ 1 β. ∵β∈(1,2)且函数m＝β＋ β在(1,2)上是增函数， 5?1? ∴1＋1＜m＜2＋，即m∈?2，?. 2?2?5?? 2，? 答案 ? 2?? 10．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件： ①?x∈R，f(x)<0或g(x)<0； ②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0， 则m的取值范围是________． 解析 当x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，当x＝1时，g(x)＝0，m＝0不符合要求；当m>0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0时不符合第①条的要求；当m<0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故 m满足 ?m<0， ?2m<－?m＋3?，?2m<－4，??－?m＋3?<1 或 ? ?－?m＋3?<2m，?2m<1，??－?m＋3?<－4， m<0， 答案 (－4，－2) 三、解答题 解第一个不等式组得－4 故所求m的取值范围是(－4，－2)． 11．设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x<1时，y＝f(x)?11? 的表达式是幂函数，且经过点?2，8?.求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式． ???11? 解 设在[－1,1)上，f(x)＝xn，由点?2，8?在函数图象上，求得n＝3. ??令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)， ∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期为2，