专题： 等差数列与等比数列． 分析： 设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到an． ，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2， 解答： 解：设∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S． ==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S． ∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N）都相似，∴∵∴数列{∴，∴，，…． *，，，…， }是一个等差数列，其公差d=3，故． ． =1+（n﹣1）×3=3n﹣2． 因此数列{an}的通项公式是故答案为． 点评： 本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力． 15．（5分）（2013?安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号）． ①当0＜CQ＜时，S为四边形 ②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R= ④当＜CQ＜1时，S为六边形 ⑤当CQ=1时，S的面积为
．
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 计算题． 分析： 由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误． 解答： 解：如图 =， 当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确； 由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ， 即可得截面为四边形APQM，故①正确； ③当CQ=时，如图， 延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR， 可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确； ④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误； ⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF， 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1?PF==，故正确． 故答案为：①②③⑤ 点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤 16．（12分）（2013?安徽）已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，
]上的单调性．
）（ω＞0）的最小正周期为π．
考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值； （2）由于x是[0，]上的单调性． 解答： ]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+=（sin2ωx+cos2ωx）+=π，∴ω=1． ）=2sinωx?cosωx+2）+， cosωx 2=2sin（2ωx+所以 T=（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+因为0≤x≤当当≤2x+≤2x+，所以≤≤≤2x+≤， ）+， 时，即0≤x≤时，即≤x≤时，f（x）是增函数， 时，f（x）是减函数， ，]上单调减． 所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[点评： 本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型． 17．（12分）（2013?安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a）x，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0} （Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）； （Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值． 考点： 导数的运算；一元二次不等式的解法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度； 22
（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．
22解答： 解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a）x=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0， 故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}， 因此区间I=（0，），区间长度为； （Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=， 令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1， 故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减， 因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得， 而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k）， 因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为． 点评： 本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力． 18．（12分）（2013?安徽）设椭圆E：
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可； 的焦点在x轴上
（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为．即可得出Q．得到直线F1Q的斜率=．利用F1Q⊥F1P，可得=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标． 解答： 解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得． 故椭圆E的方程为．