2、.周期性与对称性问题 编号 周 期 性 对 称 性 f?x?a??f?x?a?→ 1 T=2a f?x?a??f??x?a?→对称轴x?a?y?f?x?a?是偶函数； f?x?a???f??x?a?→对称中心（a,0）?y?f?x?a?是奇函数 f?a?x??f?b?x?→对称轴x?a?b； 2f?a?x??f?b?x?→ 2 T=b?a f?a?x???f?b?x?→对称中心(f(x)= -f(-x+a)→对称中心?a?b,0)； 23 f(x)= -f(x+a)→T=2a ?a?,0? ?2?f?a?x???f?b?x?→ 4 T=2b?a f(x)=±f?a?x???f?b?x?→对称中心??a?b?,0? 2??5 1→T=2a f?x?f(x)= b-f(-x+a)→对称中心??ab?,? 2?2?三、指对数函数以及幂函数中的比较大小的问题
比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法。
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性， （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计， 四、一元二次函数有关的问题 1、二次函数的三种表示形式。
2表达形式有：（1）一般式：f(x)=ax+bx+c(a?0)．
2（2）顶点式：若(m,n)为抛物线的顶点坐标．，f(x)?a(x?m)?n
（3）截距式：设x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标，则f(x)?a(x?x1)(x?x2)．
22、 一元二次方程ax?bx?c?0实根分布的分布
一般地对于含有字母的一元二次方程ax2?bx?c?0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：
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令f(x)?ax2?bx?c（a?0）
???0???0??(1) x1<α, x2<α ,则??b/(2a)??; (2) x1>α, x2>α,则??b/(2a)??
?f(?)?0?f(?)?0?????0?f(?)?0?f(?)?0?(3) α f(?)?0f(?)?0???????b/(2a)??(5)若f(x)=0在区间( α ,?)内只有一个实根，则有f(?)f??)?0 3、 二次函数y?ax?bx?c?a?0?在闭区间?p,q?上的最值 2二次函数y?ax?bx?c?a?0?在闭区间?p,q?上的最值一般分为三种情况讨论： 2（1）若对称轴x??b在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较f(p),f(q)的大小即可决2ab在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较f(p),f(q)的大小即可决2abb在区间内，则f(?)是函数的最小值（a?0）或最大值（a?0），再比较2a2a定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值） （2）若对称轴x??定函数的最大（小）值； （3）若对称轴x??f(p),f(q)的大小决定函数的最大（小）值。 五、函数图象的变换 1、平移变换 2、对称变换 ①y＝f(x)―——————―→y＝－f(x)； ②y＝f(x)――——————―→y＝f(－x)； ③y＝f(x)―――——————→y＝－f(－x)； 关于原点对称关于y轴对称关于x轴对称 10 / 24 ④y＝f(x)―――——————→y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去⑤y＝f(x)――——————―→y＝f(|x|). 关于y轴对称的图象3、伸缩变换 保留y轴右边图象，并作其 保留x轴上方图象 y＝f(x) 六、.函数零点的定义 y＝f(ax). 1、 一般地，对于函数y?f?x?，我们把方程f?x??0的实数根x称为函数y?f?x?的零点； (2) 明确三个等价关系(三者相互转化) 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者能相互转化，在解决有关零点的问题以及已知零点的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化． 2、函数零点存在性定理：设函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，且f?a?f?b??0，那么在开区间?a,b?内至少有函数f?x?的一个零点，即至少有一点x0??a,b?，使得f?x0??0。 （1）f?x?在?a,b?上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设f?x?连续） ① 若f?a?f?b??0，则f?x?的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若f?a?f?b??0，那么f?x?在?a,b?不一定有零点 ③ 若f?x?在?a,b?有零点，则f?a?f?b?不一定必须异号 3、断函数零点个数的常见方法 （1）直接法：解方程f?x??0，方程有几个解，函数f?x?就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）图象法：画出函数f?x?的图象，函数f?x?的图象与x轴的交点个数即为函数f?x?的零点个数； 或将函数f?x?拆成两个常见函数g?x?和h?x?的差，从而f?x??0?g?x??h?x??0 11 / 24 ?g?x??h?x?，则函数f?x?的零点个数即为函数y?g?x?与函数y?h?x?的图象的交点个数； 考点一、函数的性质 函数的性质是江苏高考的热点问题，每年江苏高考必然考查，主要涉及到函数的单调性、奇偶性和周期性。特别注意函数性质的应用。此类问题往往与函数的单调性和奇偶性相结合，解此类问题通过代入 将它转化为具体不等式来解，主要是运用函数的奇偶性、单调性、定义域等性质，通过去掉对应法则f，将它转化为关于变量x的具体不等式来解．此类问题常见的有三种：1、给定函数的解析 式 对于这类问题要根据函数的解析式研究函数的单调性和奇偶性；2、给定函数的解析式 但是给定的函数解析式不具有单调性和奇偶性，对于这类问题要构造新的函数，使之具有单调性个奇偶性；3、抽象函数的问题 这类问题没有具体的函数解析式，但是会给出函数的的性质。 例1、(2019苏锡常镇调研）已知偶函数f(x)的定义域为R，且在[0，??)上为增函数，则不等式 f(3x)?f(x2?2)的解集为 ． 【答案】??2,?1???1,2?． 2【解析】根据条件可得函数f(x)在???,0?上为减函数，则不等式f(3x)?f(x?2)可化为3x?x2?2， 则3x??(x?2)或3x?x2?2，解得?2?x??1或1?x?2，所以不等式f(3x)?f(x?2)的解集为 22??2,?1???1,2?． 例2、(2019泰州期末）已知函数f(x)＝2x4＋4x2，若f(a＋3)>f(a－1)，则实数a的取值范围为________． 【答案】 (－1，＋∞) 【解析】 函数f(x)＝2x4＋4x2为偶函数，因为f′(x)＝8x3＋8x＝8x(x2＋1)，所以当x∈[0，＋∞)时，函数 f(x)为增函数，当x∈(－∞，0)时，函数f(x)为减函数，由f(a＋3)>f(a－1)，得f(|a＋3|)>f(|a－1|)，即(a＋3)2>(a－1)2，解得a>－1，所以实数a的取值范围为(－1，＋∞)． 解后反思 本题考查了函数的奇偶性和单调性，易得当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)为增函数，而偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，可以实现把自变量转化到[0，＋∞)上，这一转化是解题的关键，同学们要熟练掌握偶函数这一性质，并能灵活地运用． 所以有g?1?2log2t??g?1?3log3t?，1?2log2t?1?3log3t，解得t?1 考点二 函数周期性、奇偶性与单调性的综合应用 12 / 24