2012年江苏地区高考数学试卷规范标准答案与解析

.\\

=

∴|∴

|=1,|

=(

|=

﹣1, )(

===||=,

)==﹣=﹣

2++2=,

故答案为: 点评:本 题考查平面向量的数量积的运算.本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量

的和的形式,本题是一个中档题目. 10.(5分)(2012?江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[﹣1,1]上,f

(x)=其中a,b∈R.若=,则a+3b的值为 ﹣10 .

考点:函 数的周期性;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题:函 数的性质及应用. 分析:

由于f(x)是定义在R上且周期为2的函数,由f(x)的表达式可得f()=f(﹣)

=1﹣a=f()=;再由f(﹣1)=f(1)得2a+b=0,解关于a,b的方程组可得到

a,b的值,从而得到答案. 解答:

解:∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数,f(x)=

∴f()=f(﹣)=1﹣a,f()=∴1﹣a=

;又=,

又f(﹣1)=f(1),

∴2a+b=0,②

由①②解得a=2,b=﹣4; ∴a+3b=﹣10. 故答案为:﹣10. 点评:本 题考查函数的周期性,考查分段函数的解析式的求法,着重考查方程组思想,得到

a,b的方程组并求得a,b的值是关键,属于中档题.

11.(5分)(2012?江苏)设α为锐角,若cos(α+

)=,则sin(2α+

)的值为 .

考点:三 角函数中的恒等变换应用;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数;二倍

.\\

角的正弦. 专题:三 角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析:

先设β=α+,根据cosβ求出sinβ,进而求出sin2β和cos2β,最后用两角和的正弦

公式得到sin(2α+解答:

解:设β=α+

)的值.

∴sinβ=,sin2β=2sinβcosβ=∴sin(2α+故答案为:

)=sin(2α+

,cos2β=2cos2β﹣1=)=sin(2β﹣

﹣cos2βsin

=

)=sin2βcos

点评:

本题要我们在已知锐角α+

的余弦值的情况下,求2α+的正弦值,着重考查了两

角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式,考查了三角函数中的恒等变换应用,属于中档题.

12.(5分)(2012?江苏)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,若直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是

考点:圆 与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系. 专题:直 线与圆. 分析: 于圆C的方程为(x﹣4)2+y2=1,由题意可知,只需(x﹣4)2+y2=1与直线y=kx由

﹣2有公共点即可. 解答: :∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0,整理得:解(x﹣4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)

为圆心,1为半径的圆;

又直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点, ∴只需圆C′:(x﹣4)2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可. 设圆心C(4,0)到直线y=kx﹣2的距离为d,

则d=

≤2,即3k2﹣4k≤0,

∴0≤k≤. ∴k的最大值是. 故答案为:.

点评: 题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“(x﹣4)2+y2=4与直线y=kx﹣2有公本

共点”是关键,考查学生灵活解决问题的能力,属于中档题.

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13.(5分)(2012?江苏)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为 9 .

考点:一 元二次不等式的应用. 专题:函 数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:根 据函数的值域求出a与b的关系,然后根据不等式的解集可得f(x)=c的两个根为

m,m+6,最后利用根与系数的关系建立等式,解之即可. 解答: :∵函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞)解,

∴f(x)=x2+ax+b=0只有一个根,即△=a2﹣4b=0则b=不等式f(x)<c的解集为(m,m+6), 即为x2+ax+则x2+ax+

<c解集为(m,m+6), ﹣c=0的两个根为m,m+6

=6

∴|m+6﹣m|=

解得c=9

故答案为:9 点评:本 题主要考查了一元二次不等式的应用,以及根与系数的关系,同时考查了分析求解

的能力和计算能力,属于中档题.

14.(5分)(2012?江苏)已知正数a,b,c满足:5c﹣3a≤b≤4c﹣a,clnb≥a+clnc,则的取值范围是 [e,7] .

考点:导 数在最大值、最小值问题中的应用;不等式的综合. 专题:导 数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析:

由题意可求得≤≤2,而5×﹣3≤≤4×﹣1,于是可得≤7;由c ln b≥a+c ln c可得0

<a≤cln,从而≥,设函数f(x)=(x>1),利用其导数可求得f(x)的极

小值,也就是的最小值,于是问题解决. 解答:解 :∵4c﹣a≥b>0

>,

∵5c﹣3a≤4c﹣a, ∴

≤2.

.\\

从而 ≤2×4﹣1=7,特别当=7时,第二个不等式成立.等号成立当且仅当a:b:c=1:7:2.

又clnb≥a+clnc, ∴0<a≤cln,

从而≥,设函数f(x)=(x>1),

∵f′(x)=,当0<x<e时,f′(x)<0,当x>e时,f′(x)>0,当x=e

时,f′(x)=0,

∴当x=e时,f(x)取到极小值,也是最小值. ∴f(x)min=f(e)=

=e.

等号当且仅当=e,=e成立.代入第一个不等式知:2≤=e≤3,不等式成立,从而e可以取得.等号成立当且仅当a:b:c=1:e:1. 从而的取值范围是[e,7]双闭区间. 点评:

本题考查不等式的综合应用,得到≥

,通过构造函数求的最小值是关键,也是

难点,考查分析与转化、构造函数解决问题的能力,属于难题.

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(14分)(2012?江苏)在△ABC中,已知(1)求证:tanB=3tanA; (2)若cosC=

,求A的值.

考点:解 三角形;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 专题:三 角函数的求值;解三角形;平面向量及应用. 分析:( 1)利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边,然后两边同时除以c

化简后,再利用正弦定理变形,根据cosAcosB≠0,利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA;

(2)由C为三角形的内角,及cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值,由tanC的值,及三角形的内角和定理,利用诱导公式求出tan(A+B)的值,利用两角和与差的正

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