点评： 此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想． 9．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP=，Q为CD中点，则下列结论： ①∠PBC=∠PQD；②BP=PQ；③∠BPC=∠BQC；④正方形ABCD的面积是16； 其中正确结论的个数是（ ）
A． 4 考点： B．3 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 根据对角互补的四边形，则四边形共圆，根据圆周角定理得出∠BPC=∠BQC，根据∠PBC=∠PQD，过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，推出正方形AEPM，根据勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1，证2 C． D．1 分析： 解答： △BEP≌△PFQ，推出PE=FQ=1，BP=PQ，求出DQ、DC，即可． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCQ=90°， ∵PQ⊥PB， ∴∠BPQ=90°， ∴∠BPQ+∠BCQ=180°， ∴B、C、Q、P四点共圆， ∴∠PBC=∠PQD，∠BPC=∠BQC，∴①正确；③正确； 过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=DC=BC，∠DAC=∠BAC，∠DAB=90°， ∴∠MAE=∠PEA=∠PMA=90°，PM=PE， ∴四边形AMPE是正方形， ∴AM=PM=PE=AE， ∵AP=， ∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：22AE+PE=（）2， 解得：AE=AM=PE=PM=1， ∴DF=1， 设AB=BC=CD=AD=a， 则BE=PF=a﹣1， ∵∠BEP=∠PFQ=∠BPQ=90°， ∴∠BPE+∠EBP=90°，∠EPB+∠FPQ=90°， ∴∠EBP=∠FPQ， 在△BEP和△PFQ中 ， ∴△BEP≌△PFQ（ASA）， ∴PE=FQ=1，BP=PQ，∴②正确； ∴DQ=1+1=2， ∵Q为CD中点， ∴DC=2DQ=4， ∴正方形ABCD的面积是4×4=16，∴④正确； 故选A． 本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 点评： 10．如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立；
（1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；
（2）如图（3）将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写出的值．
考点： 正方形的性质；垂线；全等三角形的判定与性质． （1）过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H，有材料提供的证明思路可证明△PGE≌△PHF，再根据全等三角形的性质：对应边相等可得：PE=PF； （2）有（1）证题思路可知方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，则△PGE∽△PHF，再根据相似三角形的性质：对应边的比值相等分析： 可得：的比解答： 值． 解：（1）成立． 证明如下： 如图，过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H， 则∠GPH=90°，PG=PH，∠PGE=∠PHF=90°， ∵∠EPF=90°，