正方形与全等模型(含答案)

30.如图,四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限,B、C在x轴上,A点函数AD∥x轴,B(1,0)、C(3,0). (1)试判断四边形ABCD的形状;

上,且AB∥CD∥y轴,

(2)若点P是线段BD上一点PE⊥BC于E,M是PD的中点,连EM、AM.求证:AM=EM;

(3)在图(2)中,连接AE交BD于N,则下列两个结论: ①

值不变;

的值不变.其中有且仅有一个是正确的,请选择正确的结论证明并求其值.

参考答案与试题解析

一.选择题(共16小题)

1.如图,在正方形ABCD中.

(1)若点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.试判断DE与CF的数量及位置关系,并说明理由; (2)若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点,PQ与MN相交,且PQ=MN,问PQ⊥MN成立吗?为什么?

考点: 专题: 分析: 正方形的性质. 探究型. (1)由已知易得△DAE≌△CDF,故有DE=CF. (2)由点N,Q分别向AB,AD作垂线,构造两直角三角形全等,由角的等量代换,易得QP⊥MN. 解:(1)在正方形ABCD中,AD=DC,AE=DF,∠EAD=∠FDC, 所以△EAD≌△FDC,故DE=CF, ∴∠EDA=∠FCD, 又∵∠DCF+∠DFC=90°, ∴∠ADE+∠DFC=90°, ∴∠DGF=90° 即DE⊥CF. (2)由点N,Q分别向AB,AD作垂线, ∵PQ=MN,RN=SQ, 解答: ∴△MNR≌△QPS(HL), ∴∠PQS=∠MNR,又∠1+∠PQS=90°, 所以∠1+∠MNR=90°,即MN⊥PQ. 点评: 解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用,搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系,可有助于提高解题速度和准确率. 2.如图,直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D,AM⊥MN于M,CN⊥MN于N,BR⊥MN于R.

(1)求证:△ADM≌△DCN: (2)求证:MN=AM+CN;

(3)试猜想BR与MN的数量关系,并证明你的猜想.

考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质. 证明题;探究型. 此题分三问进行,三问都与三角形全等直接相关,所以要紧扣三角形全等的判定方法进行思考. (1)要证△ADM≌△DCN,由于它们都是直角三角形,所以首先有直角相等,又由ABCD是正方形有AD=DC,再找一个条件即可,而由图形很容易分析得出∠ADM=∠DCN; (2)的关键是合理添加辅助线,通过等量代换等到结论; (3)首先结合前面的结论再结合图形合理猜想,然后再结合前面的结论认真推理,细致证明即可. (1)证明:∵AM⊥MN于点专题: 分析: 解答:

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