正方形与全等模型(含答案)

17.(等角共顶点)如图1,2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F. (1)如图1,当点E在AB边的中点,N为AD边的中点位置时: ①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 _________ ; ②请证明你的上述猜想.

(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置时,猜想此时DE与EF有怎样的数量关系,并证明你的结论.

18.(对角互补分半)已知,四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H

(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?并证明; (2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长; 小萍同学通过观察图①发现,△ABM和△AHM关于AM对称,△AHN和△ADN关于AN对称,于是她巧妙运用这个发现,将图形如图③进行翻折变换,解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?

19.(对角互补分半)(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数. (2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由. (3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的长.

20.(对角互补分半)如图,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,那么四边形BCFE的面积等于 _________ ;若GH与CD交点为I,那么?GBI=____________.

21.(等角共顶点拓展)如图,四边形ABCD是正方形,以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.猜想图中线段BG、DE的数量和位置关系,并说明理由.

22.(等角共顶点拓展)如图,正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC为边的正方形,P、Q为它们的中心,M是BC的中点,试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关系?并证明你的结论.

23.如图所示,四边形ABCD为正方形,△BEF为等腰直角三角形(∠BFE=90°,点B、E、F按逆时针顺序),P为DE的中点,连接PC、PF. (1)如图(1),E点在边BC上,则线段PC、PF的数量关系为 _________ ,位置关系为 _________ (不需要证明).

(2)如图(2),将△BEF绕B点顺时针旋转α°(0<α<45),则线段PC、PF有何数量关系和位置关系?请写出你的结论并证明. (3)如图(3),E点旋转到图中的位置,其它条件不变,完成图(3),则线段PC、PF有何数量关系和位置关系?直接写出你的结论,不需要证明.

24.(等角共顶点拓展)如图甲,操作:把正方形CGEF的对角线,CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M.

(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系,直接写出答案即可; (2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图乙),令CG=2BC其他条件不变,结论是否发生变化,并加以证明;

(2)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图丙),其他条件不变.探究:线段MD,MF的位置及数量关系,并加以证明.

【巩固练习】

25.已知点E是正方形ABCD外的一点,EA=ED,线段BE与对角线AC相交于点F, (1)如图1,当BF=EF时,线段AF与DE之间有怎样的数量关系?并证明; (2)如图2,当△EAD为等边三角形时,写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系,并证明.

26.如图1,四边形ABCD为正方形,E在CD上,∠DAE的平分线交CD于F,BG⊥AF于G,交AE于H. (1)如图1,∠DEA=60°,求证:AH=DF;

(2)如图2,E是线段CD上(不与C、D重合)任一点,请问:AH与DF有何数量关系并证明你的结论; (3)如图3,E是线段DC延长线上一点,若F是△ADE中与∠DAE相邻的外角平分线与CD的交点,其它条件不变,请判断AH与DF的数量关系(画图,直接写出结论,不需证明).

27.在直角坐标系中,直线y=2x+4交x轴于A,交y轴于D (1)以A为直角顶点作等腰直角△AMD,直接写出点M的坐标为 _________

(2)以AD为边作正方形ABCD,连BD,P是线段BD上(不与B、D重合)的一点,在BD上截取PG=过G作GF⊥BD,交BC于F,连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系?并证明你的结论; (3)在(2)中的正方形中,若∠PAG=45°,试判断线段PD、PG、BG之间有何关系,并证明你的结论.

28.如图,一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动,并使得一条直角边始终经过B点.

(1)如图1,当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点,(2)如图2,当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时,

= _________ ; = _________ ;

(3)如图3或图4,当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时,请你在图3或图4中任选一种情形,求值,并说明理由.

29.已知,如图在正方形OADC中,点C的坐标为(0,4),点A的坐标为(4,0),CD的延长线交双曲线y=于点B.

(1)求直线AB的解析式;

(2)G为x轴的负半轴上一点连接CG,过G作GE⊥CG交直线AB于E.求证CG=GE; (3)在(2)的条件下,延长DA交CE的延长线于F,当G在x的负半轴上运动的过程中,请问为定值,若是,请求出其值;若不是,请说明你的理由.

的值是否

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