又由条件(2),(3)，根据阿贝尔引理得：
k?n?1?un?pk(x)vk(x)≤[|vn+1(x)|+2|vn+p(x)|]ε≤3Mε.
由函数项级数一致收敛的柯西准则知，?un(x)vn(x)在I上一致收敛.
定理13.7：(狄利克雷判别法)设
(1)?un(x)的部分和函数列Sn(x)=?uk(x), (n=1,2,…)在I上一致有界；
k?1n(2)对于每一个x∈I，{vn(x)}是单调的； (3)在I上vn(x)?0 (n→∞)， 则级数?un(x)vn(x)在I上一致收敛.
证：由条件(1)，存在正数M，对一切x∈I，有|Sn(x)|≤M， ∴当n,p为任何正整数时，
k?n?1?un?pk(x)=|Sn+p(x)-Sn(x)|<2M.
对任何一个x∈I，由条件(2)及阿贝尔引理得：
k?n?1?un?pk(x)vk(x)≤2M[|vn+1(x)|+2|vn+p(x)|]
又由条件(3)，?ε>0，?正数N，使得当n>N时，对一切x∈I， 有|vn(x)|<ε. ∴
k?n?1?un?pk(x)vk(x)<6Mε.
由函数项级数一致收敛的柯西准则知，?un(x)vn(x)在I上一致收敛.
(?1)n(x?n)n例6：证明：函数项级数?在[0,1]上一致收敛.n?1n (?1)nx?证：记un(x)=, vn(x)=??1??，则?un(x)在[0,1]上一致收敛；
n?n?n又{vn(x)}单调增，且1≤vn(x)≤e, x∈[0,1]，即{ vn(x)}在[0,1]上一致有界.
(?1)n(x?n)根据阿贝尔判别法知数?在[0,1]上一致收敛.
nn?1
例7：证明：若数列{an}单调且收敛于0，则级数?ancosnx在[α,2π-α] (0<α<π)上一致收敛.
1??sinn???xn11111证：∵?coskx=?2?- ≤+≤+, x∈[α,2π-α]，
α2xx22k?12sin2sin2sin222∴级数?cosnx的部分和函数列在[α,2π-α]上一致有界. 令un(x)=cosnx, vn(x)=an，∵数列{an}单调且收敛于0， 根据狄利克雷判别法知，级数?ancosnx在[α,2π-α]上一致收敛.
注：只要{an}单调且收敛于0，那么级数?ancosnx在不包含2kπ (k为整数)的任何闭区间上都一致收敛.
习题
1、讨论下列函数列在所示区间D上是否一致收敛或内闭一致收敛，并说明理由： (1)fn(x)=x2?(2)fn(x)=
1, n=1,2,…，D=(-1,1)； 2nx, n=1,2,…，D=R； 221?nx1??(n?1)x?1，0?x??n?1, n=1,2,…； (3)fn(x)=?1?0， ?x?1n?1?x(4)fn(x)=, n=1,2,…，D=[0,+∞)；
nx(5)fn(x)=sin, n=1,2,…，D=R.
nx2?解：(1)limfn(x)=nlim??∞n??∞1 =|x|=f(x), x∈D=(-1,1)；又 n212112nsup|fn(x)-f(x)|=supx?2?|x|=sup≤→0(n→∞).
nx?Dnx?Dx?D1x2?2?|x|n∴x2?1?|x| (n→∞)，x∈(-1,1). n2(2)limfn(x)=nlim??∞n??∞x =0=f(x), x∈D=R；
1?n2x2xx1≤=→0(n→∞). 222nx2nx?D1?nx又sup|fn(x)-f(x)|=supx?D∴
x?0 (n→∞)，x∈R.
1?n2x2n??∞(3)当x=0时，limfn(x)=1；当0
?0，0?x?1sup|fn(x)-f(x)|=1≠0. ∴fn(x)在[0,1]上不一致收敛. 又nlim??∞x?[0,1]1x?1，x?0 (4)limfn(x)=nlim=0=f(x), x∈D=[0,+∞)；又 ??∞n??∞xnn??∞x?[0,+∞)limsup|fn(x)-f(x)|=limsupx=+∞, ∴fn(x)在[0,+∞)上不一致收敛. n??∞x?[0,+∞)nsup|fn(x)-f(x)|=lim=0, 在任意[0,a]上，nlim??∞n??∞x?[0,a]an∴fn(x)在[0,+∞)上内闭一致收敛.
sin=0=f(x), x∈D=R；又 (5)limfn(x)=nlim??∞n??∞xnn??∞x?Rlimsup|fn(x)-f(x)|=limsupsinn??∞x?Rx=1, ∴fn(x)在R上不一致收敛. nxa≤nlim=0, ??∞nnsup|fn(x)-f(x)|=limsupsin在任意[-a,a]上，nlimn??∞??∞x?[-a,a]x?[-a,a]∴fn(x)在R上内闭一致收敛.
2、证明：设fn(x)→f(x), x∈D， an→0(n→∞) (an>0). 若对每一个正整数n有|fn(x)-f(x)|≤an, x∈D，则{fn}在D上一致收敛于f. 证：∵|fn(x)-f(x)|≤an, x∈D，且an→0(n→∞)，
sup|fn(x)-f(x)|= 0，∴fn(x)?f(x) (n→∞)，x∈D. ∴nlim??∞x?[-a,a]
3、判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性：
xnn(-1)n-1x2(1)?, x∈[-r,r]；(2)?, x∈R；(3)?xn, |x|>r>1； (n-1)!(1?x2)nxn(-1)n-1x2(4)?2, x∈[0,1]；(5)?2, x∈R；(6)?, x∈R. 2n-1nx?n(1?x)urnrnrxn解：(1)?x∈[-r,r], 有≤,记un=,则n?1=→0(n→∞)，
(n-1)!(n-1)!unn(n-1)!rnxn∴?收敛，∴?在[-r,r]上一致收敛.
(n-1)!(n-1)!x2(2)记un(x)=(-1), vn(x)=，则对任意的x∈R，有 2n(1?x)n-1
|?uk(x)|≤1, (n=1,2,…)，即{un(x)}的部分和函数列在R上有界；
k?1n