-1en=1≠0， 解法二：取xn=∈R+，则limfn(xn)=nlim??∞n??∞n1∴{fn}在D上不一致收敛于f.
定义1：设函数列{fn}与f定义在区间I上，若对任意闭区间[a,b]?I, {fn}在[a,b]上一致收敛于f，则称{fn}在I上内闭一致收敛于f.
注：若I为有界闭区间，则{fn}在I上内闭一致收敛于f与{fn}在I上一致收敛于f是一致的.
例1中函数列{xn}在[0,1)上不一致收敛于0，但对任意δ>0,
x?[0,δ]sup|x|≤δ→0 (n→∞)，∴{fn}在[0,1)上内闭一致收敛于0.
nn
例3中函数列{fn}在R+上不一致收敛于0，但对任意[a,b]?R+，
x?[a,b]sup|nxe-nx|≤nbe-na→0 (n→∞)，∴{fn}在R上内闭一致收敛于0.
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二、函数项级数及其一致收敛性
概念：设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式： u1(x)+ u2(x)+…+un(x)+…, x∈E
称为定义在E上的函数项级数，简记为?un(x)或?un(x).
n?1?称Sn(x)=?uk(x), x∈E, n=1,2,…为函数项级数?un(x)的部分和函数.
k?1n若x0∈E, 数项级数u1(x0)+ u2(x0)+…+un(x0)+…收敛，即部分和 Sn(x0)=?uk(x0) 当n→∞时极限存在，则称级数?un(x)在点x0收敛，
k?1nx0称为级数?un(x)的收敛点.
若级数?un(x0)发散，则称级数?un(x)在点x0发散.
若?un(x)在E的某个子集D上每点都收敛，则称?un(x)在D上收敛. 若D为级数?un(x)全部收敛点的集合，则称D为?un(x)的收敛域. 级数?un(x)在D上每一点x0与其所对应的数项级数?un(x0)的和S(x0)构成一个定义在D上的函数，称为级数?un(x)的和函数，并写作： S(x)=u1(x)+ u2(x)+…+un(x)+…, x∈D即limSn(x)=S(x), x∈D，于是
n??∞函数项级数的收敛性等价于它的部分和函数列{Sn(x)}的收敛性.
例4：判别函数项级数(几何级数)1+x+x2+…+xn+…在R上的收敛性.
1-xn解：几何级数的部分和函数为Sn(x)=.
1-x1; 当|x|≥1时，S(x)=limSn(x)=+∞.
n??∞n??∞1-x1∴几何级数在(-1,1)内收敛于和函数S(x)=；当|x|≥1时，发散.
1-x当|x|<1时，S(x)=limSn(x)=
定义3：设{Sn(x)}函数项级数?un(x)的部分和函数列. 若{Sn(x)}在数集D上一致收敛于S(x)，则称?un(x)在D上一致收敛于S(x). 若?un(x)在任意闭区间[a,b]?I上一致收敛，则称?un(x)在I上内闭一致收敛.
定理13.3：(一致收敛的柯西准则)函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给ε>0，总存在某正整数N，使得当n>N时， 对一切x∈D和一切正整数p，都有|Sn+p(x)-Sn(x)|< ε或
k?n?1?un?pk(x)< ε.
推论：函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛的必要条件是函数列{un(x)}在D上一致收敛于0.
注：设函数项级数?un(x)在数集D上的和函数为S(x), 称 Rn(x)=S(x)-Sn(x)为函数项级数?un(x)的余项.
定理13.4：函数项级数?un(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件
sup|Rn(x)|=limsup|S(x)-Sn(x)|=0. 是：nlim??∞n??∞x?Dx?D
注：几何级数?xn在(-1,1)上不一致收敛，因为
?n???n-1xnn?1?n???sup|S(x)-Sn(x)|=sup≥=n?? →∞ (n→∞). nx?(-1,1)x?(-1,1)x-1?n?1?1-n?1anxn又对任意a(0 1-ax?[-a,a]x?[-a,a]x-1n∴几何级数?xn在(-1,1)上内闭一致收敛. 三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理13.5：(魏尔斯特拉斯判别法或M判别法或优级数判别法) 设函数项级数?un(x)定义在数集D上，?Mn为收敛的正项级数， 若对一切x∈D，有|un(x)|≤Mn, n=1,2,…， 则函数项级数?un(x)在D上一致收敛. 证：∵?Mn为收敛的正项级数，根据数项级数的柯西准则， ?ε>0，?正整数N，使得当n>N及任何正整数p，有 k?n?1?Mn?pk= k?n?1?Mn?pk< ε，又对一切x∈D，有|un(x)|≤Mn, n=1,2,…， ∴ k?n?1?un?pk(x)≤ k?n?1?un?pk(x)≤ k?n?1?Mn?pk< ε， 由函数项级数一致收敛的柯西准则知，级数?un(x)在D上一致收敛. 例5：证明函数项级数?证：∵对一切x∈R，有又级数? sinnxcosnx和?n2在R上一致收敛. n2sinnx1cosnx1≤，≤. ?222n2nnn1sinnxcosnx收敛，∴函数项级数和?n2?n2在R上一致收敛. n2注：当级数?un(x)与级数?Mn在 [a,b]上，都有|un(x)|≤Mn, n=1,2,…时，称级数?Mn在[a,b]优于?un(x)，或称?Mn为?un(x)的优级数. 定理13.6：(阿贝尔判别法)设 (1)?un(x)在区间I上一致收敛； (2)对每一个x∈I，{vn(x)}是单调的； (3){vn(x)}在I上一致有界，即对一切x∈I和正整数n，存在正数M，使得|vn(x)|≤M，则级数?un(x)vn(x)在I上一致收敛. 证：由条件(1)，?ε>0，?某正整数N，使得 当n>N及任何正整数p，对一切x∈I，有 k?n?1?un?pk(x)< ε.