打扫 不打扫
Albert
打扫 不打扫
5, 5 6, 2 2, 6 2, 3 假设我们给这个博弈再加上一个阶段，在这一阶段中，Albert和Victoria彼此都有机会惩罚对方。想象一下，在一天结束的时候，Albert和Victoria彼此都能够看到对方是否打扫了房间。看到对方所做的事情以后，他们都可以选择是否吵架。吵架会对双方造成伤害，无论是谁先开始吵的。这样我们将假设，如果他们中有一人或者两人开始吵架，那么这一天他们两人的收益都要减少2。（例如，如果Victoria打扫了房间而Albert没有打扫，并且如果Victoria看到了这一结果先开始吵架的话，Albert的收益将是6-2=4，而Victoria的收益将是2-2=0。）
(a) 假设现在是晚上，Victoria看到了Albert选择的是不打扫房间，并且她认为他不会无开始吵架的。哪种策略将使她一整天的收益更高，吵架还是不吵架？
(b) 假设Victoria和Albert彼此都认为对方将会采取能够最大化他或她当天总收益的行动。他们两人中有人认为对方会开始吵架吗？ 假设给定其他人的行动，每个人都试图最大化他或她自己的收益，你预计他们每个人在博弈的第一阶段会怎么做，是打扫还是不打扫？
(c) 假设Victoria和Albert被某种他们不能控制的情绪支配着。如果看到对方没有打扫房间，他们谁也无法不生气。并且如果任意一方生气了，他们就会吵架从而收益都减少2。如果任意一方没有打扫就肯定会有争吵，那么Victoria和Albert之间的博弈的收益矩阵就变成了：
有报复心的Victoria和生气的Albert
Victoria 打扫 不打扫 Albert
打扫
不打扫
5, 5 4, 0 0, 4 1, 1 (d) 如果另一方打扫房间，那么这一方是打扫更好还是不打扫更好？ 如果另一方不打扫房间，那么是打扫更好还是不打扫更好呢？ 解释一下。
(e) 这一博弈有占优策略吗？ 给出解释。
(f) 这一博弈有两个纳什均衡。分别是什么？
(g) 如果Victoria和Albert都很容易生气，而不是在何时生气的问题上十分理性，那么他们的状况可能会都变得更好，但是也可能他们的状况都变得更坏了。解释一下为什么会出现这样的情况。
(h) 假设Victoria和Albert都清楚，如果Victoria没有打扫房间，Albert将会生气并开始吵架，但是Victoria的头脑很冷静，她不会开始吵架。均衡的结果是什么？
28.4 Maynard’s Cross是一个时髦的小酒馆，这个小酒馆擅长生牛肉片和其他生的东西。大多数到这里来的人都希望看到另人，也希望被人看到。但是，有一个包含10个顾客的中坚群体，他们每晚都来这个酒馆，他们不在乎其他人来了多少。来Maynard的其他顾客的数量依赖于他们预期能够看到的人数。特别地，如果人们预计某晚Maynard的顾客人数为X，那么那晚真的去Maynard的顾客人数就是Y=10+0.8X。均衡时，到该酒馆的实际人数肯定等于人们所预计的人数。
(a) 要求均衡时Maynard的顾客人数，你必须同时求解哪两个方程？ (b) 每晚均衡的顾客人数是多少？
(c) 在下面的坐标系中，画出(a)中你所给出的两个方程的曲线。标出均衡时的顾客人数。
(d) 假设另一个生牛肉片爱好者搬到了这个地方。和其他那10个人一样，无论Maynard另外有多少位顾客，他每晚都在Maynard用餐。写出决定Maynard顾客人数的新方程，并且求出新的均衡顾客人数。
(e) 用不同颜色的笔画出变化后新方程的曲线。这一新的固定顾客吸引了多少额外的顾客（除了他自己以外）？
(f) 假设每个人都根据上一晚的顾客数来预计当晚的顾客数是多少，并且上一晚的顾客数是公共知识，则Xt=Yt-1，其中Xt是t晚预期的顾客数，Yt-1是t-1晚实际的顾客数。在任意时刻t，Yt=10+0.8Xt。假设Maynad开业的第一晚有20位顾客，那么第二晚的顾客人数将是多少？
(g) 第三晚的顾客人数将是多少？
(h) 顾客人数将会倾向于某一极限值。这一极限值是多少？
28.5 Yogi酒吧烤肉店很受那些喜欢安静、不爱交际的人的喜爱。如果Yogi的固定顾预计当天Yogi的人数为X，那么出现在Yogi的顾客人数Y将是以下两个数中较大的那个数，即120-2X和0。也就是说Y=max{120-2X, 0}。
(a) 求Yogi均衡的顾客人数。在下面的坐标系中画出能够描述这一均衡的图形。 (b) 假设人们预计任意一晚的顾客人数都与前一天晚上的顾客人数相等。假设开业的第一天，Yogi的顾客人数为50人。那么第二天将有多少顾客光临Yogi？ 第三天呢？ 第四天呢？ 第五天呢？ 第六天呢？ 第九十九天呢？ 第一百天呢？
(c) 如果至少有一位Yogi的顾客记得超过一天或者两天的事情，那么你认为该模型有什么错误的地方呢？
第二十九章 博弈论的应用
29.1两个软件公司销售相互竞争的产品。这些产品是相互替代品，因此任何一个公司销售的产品数都是它自身价格的减函数，是另一公司产品价格的增函数。令p1和x1分别为产品1的价格和销售量，p2和x2分别为产品2的价格和销售量，则
x1?100(090?12p1?14p2)，x2?1000(90?12p2?14p1)。每个公司在设计自己的软件
和编写程序上都存在固定成本，但是销售额外一单位产品给用户的成本为零。因此每个公司都将通过选择最大化自己总收益的价格来最大化自己的利润。
(a) 写出公司1的总收益的表达式，其中总收益是其自身的价格p1和另一个公司的价格p2的函数。
(b) 公司1的最优反应函数BR1(·)是这样定义的：给定产品2的价格为p2，BR1(p2)是能够最大化公司1收益的产品1的价格。在收入函数已知的条件下，公司1的最优反应函数由公式BR1(p2)= 表示。（提示：对收益关于p1求导，解出给定p2时收益最大化的价格p1。）
(c) 用同样的方法求出公司2的最优反应函数BR2(p1)= 。 (d) 求解纳什均衡的价格，p1= ，p2= 。
(e) 假设公司1先定价。公司2知道公司1所选择的价格p1，并且它知道公司1将不会
入变其价格。如果公司2在公司1的价格p1给定的条件下选择最大化自己收益的定价，那么它将选择什么价格？p2= 。如果公司1知道公司2对自己选择的价格的反应，则公司1选择的价格为多少？ 给定公司1的这一价格，公司2将会选择什么价格？
29.2这是“懦夫”博弈的一个例子。两个十几岁的孩子各自开着汽车，加大马力以很高的速度向对方开过来。最先转弯的那个人被称为“懦夫”。对你来说，最好的情况是对方转弯而你不转弯。这样你就是英雄而对方就是懦夫。如果你们两个人都转弯，你们就都是懦夫。如果两个人都不转弯，你们就都得进医院。这种类型的懦夫博弈的收益矩阵如下。
懦 夫 Leroy 转弯 不转弯
Job Bob
转弯
不转弯
1, 1 1, 2 0, 0 2, 1 (a) 这一博弈有占优策略吗？ 其中的两个纯策略纳什均衡是什么？
(b) 找出该博弈的一个混合策略纳什均衡。
29.3 Ned和Ruh喜欢玩“捉迷藏”。这个游戏很简单，很是很有趣。游戏是这样的：Ruth躲在楼上或者楼下。Ned可以到楼上去找也可以到楼下去找，但是不能两个地方都去。如果人找到了Ruth，Ned就得到一勺冰淇淋而Ruth什么也得不到。如果他没有找到Ruth，Ruth就得到一勺冰淇淋而Ned什么也得不到。将收益填写在下面的矩阵中。
捉迷藏 Ruth 楼上 楼下
Ned
楼上
楼下
(a) 这是一个零和博弈吗？ 其纯策略纳什均衡是什么？ (b) 找出该博弈的一个混合策略纳什均衡。
(c) Ned和Ruth玩这游戏很多年了，现在他们想到了一个使这个游戏更有意思的方法。即如果Ned在楼上找到了Ruth，他将得到两勺冰淇淋；但是如果他在楼下找到她，他将得到一勺冰淇淋。如果Ned找到了Ruth，Ruth将得不到冰淇淋；但是如果Ned没有找到她，她将得到一勺冰淇淋。在下表中填入收益。
高级版的捉迷藏