1.3 逻辑代数中的基本公式和常用公式
逻辑代数和普通代数一样，有一套完整的运算规则，包括公理、定理和定律，用它们对逻辑函数式进行处理，可以完成对电路的化简、变换、分析与设计。 1.3.1 逻辑代数的基本公式
包括9个定律，其中有的定律与普通代数相似，有的定律与普通代数不同，使用时切勿混淆。
表1 逻辑代数的基本公式
名称 0-1律 互补律 重叠律 交换律 结合律 分配律 反演律 吸收律 公式1 A?1?A 公式2 A?0?A A?1?1 A?A?1 A?0?0 AA?0 AA?A AB?BA A(BC)?(AB)C A(B?C)?AB?AC A?A?A A?B?B?A A?(B?C)?(A?B)?C A?BC?(A?B)(A?C) AB?A?B A(A?B)?A A(A?B)?AB A?B?AB A?AB?A A?AB?A?B AB?AC?BC?AB?AC (A?B)(A?C)(B?C)?(A?B)(A?C) 对合律 A?A
表中略为复杂的公式可用其他更简单的公式来证明。 例1 证明吸收律A?AB?A?B
证：A?AB?A(B?B)?AB?AB?AB?AB?AB?AB?AB?AB ?A(B?B)?B(A?A)?A?B
表中的公式还可以用真值表来证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。 例2 用真值表证明反演律AB?A?B和A?B?AB
证：分别列出两公式等号两边函数的真值表即可得证，见表2和表3
表2 证明AB?A?B
A B 0 0 0 1
AB A?B 1 1 13
1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 表3 证明A?B?AB
A B 0 0 0 1 1 0 1 1 A?B AB 1 0 0 0 1 0 0 0
反演律又称摩根定律，是非常重要又非常有用的公式，它经常用于逻辑函数的变换，以下是它的两个变形公式，也是常用的。
AB?A?B A?B?AB
1.3.2 逻辑代数的常用公式
这些常用公式是利用基本公式导出的，直接运用这些导出公式可以给化简逻辑函数的工作带来很大方便。各常用公式如下，并给出各式的简单证明。 1．A?A?B?A
证：A?A?B?A?(1?B)?A?1?A
上式说明在两个乘积项相加时，若其中一项以别一项为因子，则该项是多余的，可以直接删去。 2．A?A?B?A?B
证：A?A?B?(A?A)(A?B)?1?(A?B)?A?B
这一结果表明，两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。
3．A?B?A?B?A
证：A?B?A?B?A(B?B)?A?1?A
这个公式的含意是当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B两个因子而其它因子相同，则两项定能合并，且可将B和B两个因子消去。 4．A?(A?B)?A
证：A?(A?B)?A?A?A?B?A?A?B?A?(1?B)?A?1?A 该式说明，变量A和包含A的和相乘时，其结果等于A，即可以将和消掉。 5．A?B?A?C?B?C?A?B?A?C
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A?B?A?C?B?C?A?B?A?C?B?C(A?A) 证：
?A?B?A?C?A?B?C?A?B?C?A?B?(1?C)?A?C?(1?B)?A?B?A?C
这个公式说明，若两个乘积项中分别包含A和A两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。 从上式不难进一步导出
A?B?A?C?B?C?A?B?A?C
6． A?A?B?A?B ；A