4.1 双线性函数
1.(北大2000). (1)设V是实数域上的线性空间, f是V上的正定的对称双线性函数, U是V的有限维子空间.证明：V?U?U,其中U?????V:f(?,?)?0,???U?.(2) 设V是数域K上的n维
?线性空间, g是V上的非退化的对称双线性函数. W是V的子空间.令
W?????V:g(?,?)?0,???W?,证明：(a) dimV?dimW?dimW?;(bW?????W).
2.(北大2007). f为双线性函数,且对任意的?,?,?都有f(?,?)f(?,?)?f(?,?)f(?,?).试证明为对称的或反对称的.
3.(2010省区赛).设A为n?n实矩阵(未必对称),对任一n维实向量??(a1,?,an),?A?T?0 (这
T里?表示?的转置),且存在n维实向量?,使得?A?T?0,同时对任意n维实向量x和y,当时
xAyT?0有xAyT?yAxT?0.证明:对任意n维实向量v,都有vA?T?0.
4.(2010决赛).设?:Mn(R)?R是非零线性映射,满足?(XY)??(YX),?X,Y?Mn(R),这里
Mn(R)是实数域R上n阶方阵组成的线性空间.在Mn(R)上定义双线性型(X,Y)??(XY).(1)证明
双线性型(?,?)是非退化的,即若(X,Y)?0,?Y?Mn(R),则X?0;(2)设?A2n2k1?是Mn(R)的一组基,
?B?
n2k1n?1,i?j,是相应的对偶基,即(Ai,Bj)??ij?? 证明?AiBi是数量矩阵.
0,i?j.i?1?4.2 二次型
1.(北大2002).用正交变换化下面二次型为标准形：
22f(x1,x2,x3)?x12?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3.
(要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形).
2222.(中科院2007).设二次型f?x1?x2?x3?2ax1x2?2x1x3?4bx2x3.通过正交变换化为标准22形f?y2,求参数a,b及所用的正交变换. ?2y33.(中科院2006).已知二次曲面方程x?ay?z?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换
222(x,y,z)T?P(x',y',z')T化为椭圆柱面方程y'2?4z'2?4..求a,b的值和正交矩阵P.
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?a12??a2a14.(中科院2005).(1)考虑如下形式的矩阵P?????aa?n1a1a22a2?ana2?a1an???a2an?,其中,ai(1?i?n)都????2??an?为实数.证明:矩阵P非负定;(2)证明:非零实二次型f(x1,?,xn)可以写成
f(x1,?,xn)?(u1x1???unxn)(v1x1???vnxn)
的充要条件是：或者它的秩为1,或者它的秩为2且符号差为0.
2225.(中科大2008).已知二次型Q(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x2?4x2x3?4x1x3.(1)用正交变
换将Q(x1,x2,x3)化为标准形.(2)判断曲面Q(x1,x2,x3)?1的类型.
6.(中科大2010).填空:定义所有n阶实方阵构成的实线性空间V上的对称双线性函数为
f(X,Y)?Tr(XTY),X,Y?V,二次型为Q(X)?f(X,X),
则Q(X)的正、负惯性指数分别为 .
4.3 二次型的应用.
1.(中科院2006).设有实二次型f?xTAx, 其中x是x转置,A是3?3实对称矩阵并满足以下方
32222程：A?6A?11A?6I?0.试计算 maxmaxf(x),其中||x||2?x1?x2?x3,第一个极大值是
A||x||?1T满足以上方程的所有实对称矩阵A来求.