全国大学生数学竞赛（数学类）赛前强化训练题集
高等代数与解析几何 篇
一、向量空间与矩阵
1.1 向量空间
1.(北大2007).回答下列问题：
(1)是否存在n阶方阵A,B,满足AB?BA?E (单位矩阵)？又,是否存在n维线性空间上的线性变换A,B,满足AB?BA?E (恒等变换)？若是,给出证明;若否,举出例子.
(2) n阶行列式A各行元素之和为常数c,则A的各行元素之和是否为常数？若是,是多少？说明理由.
(3) m?n矩阵秩为r,取r个线性无关的行向量,再取r个线性无关的列向量,组成的r阶子式是否一定为0？若是,给出证明;否,举出反例.
(4) A,B都是m?n矩阵.线性方程组AX?0与BX?0同解,则A与B的列向量是否等价？行向量是否等价？若是,给出证明;否,举出反例.
32(5)把实数域R看成有理数域Q上的线性空间, b?pqr,这里的p,q,r是互不相同的素数.判断
3向量组1,nb,nb2,?,nbn?1是否线性相关？说明理由.
2.(北大2010).向量组?1,?2,?,?s线性无关,且可以由向量组?1,?2,?,?l线性表出.证明必存在某个向量?j(j?1,2,?,l)使得向量组?j,?1,?2,?,?s线性无关.
3.(北大2010).设A是n阶正定矩阵,向量组?1,?2,?,?s满足?iA?j?0(1?i?j?n).问
'向量组?1,?2,?,?s的秩可能是多少？证明你的结论.
1.2 线性方程组
1.(北大1997).设A,B是数域K上的n阶方阵, X是未知量x1,x2,?,xn所成的n?1矩阵.已知齐次线性方程组AX?0和BX?0分别有l,m个线性无关解向量,这里l?0,m?0. (1)证明
(AB)X?0至少有max(l,m)个线性无关解向量. (2) 如果l?m?n, 证明(A?B)X?0必有非
n零解. (3)如果AX?0和BX?0无公共非零解向量,且l?m?n, 证明 K中任一向量?可唯一
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表成?????, 这里?,?分别是AX?0和BX?0的解向量.
2.(北大1998).讨论a,b满足什么条件时,数域上的下述线性方程组有唯一解,有无穷多个解,无解？当有解时,求出该方程组的全部解.
?ax1?3x2?3x3?3,??x1?4x2?x3?1, ?2x?2x?bx?2.23?1l3.(北大2001).设?是复数域C上的本原次单位根(即, ?n?1,而当0?l?n时, ??1),
s,b都是正整数,而且s?n.令
?1?b?2b??2(b?1)?1?b?1A???????1?b?s?1?2(b?s?1)????. ???(n?1)(b?s?1)?????(n?1)b??(n?1)(b?1)??任取??Cs判断线性方程组AX??有无解？有多少解？写出理由.
4.(北大2006).(1)设A,B分别是数域K上s?n,s?m矩阵.叙述矩阵方程AX?B有解的充分必要条件,并给予证明.(2)设A是数域K上s?n列满秩矩阵,试问：方程XA?En是否有解？若有解,写出它的解集：若无解,说明理由.(3) 设A是数域K上s?n列满秩矩阵,试问：对于数域K上
s?m矩阵,矩阵方程AX?B是否一定有解？当有解时,它有多少个解？求出它的解集,要求说明理由.
5.(北大2008).回答下列问题：
(1) A是s?n矩阵.非齐次线性方程组AX??有解且rank(A)?r,则AX??的解向量中线性无关的最多有多少个？并找出一组个数最多的线性无关解向量. (2) AX??对于所有的s维非零向量?都有解,求rank(A).
1??1??6.(北大2010). 设A,B是n阶矩阵,且满足A??B?E??B?E?.证明: 对任意的n维
110??110??列向量?,方程组A(A?A)X?AT2TT?必有非零解.
n7.(中科院2007).设?1,?2,?,?k?R是齐次线性方程组AX?0的基础解系,
s,t?R, ?1?s?1?t?2,?,?k?1?s?k?1?t?k,?k?s?k?t?1.
试问：s,t应该满足什么关系,使得
?1,?2,?,?k是方程组AX?0的基础解系,反之,当
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?1,?2,?,?k是方程组AX?0的基础解系时,这个关系必须成立.
8.(中科院2006).考虑齐次线性方程组AX?0,其中A?(aij)(n?1)?n.设Mj(j?1,2,?,n)是在系数矩阵A中消去第j列所得到的n?1阶子式.求证: (1)M1,?M2,?,(?1)n?1Mn是方程组的一个解;
(2)如果A的秩为n?1,那么方程组的解全是M1,?M2,?,(?1)n?1Mn的倍数.
?????x1?x3?0,又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解9.(中科院2006).设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为?x?x?04?2为k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T. (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系;(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解,若没有,则说明理由. 10.(中科院2004). ??xn?1?xn?4yn,已知x0?1,y0?0,求x100,y100.
y?2x?ynn?n?1?2x1?7x2?3x3?x4?5?x?3x?5x?2x?3?123411.(中科大1997,2010).求线性方程组?的通解.
?x1?5x2?9x3?8x4?1??5x1?18x2?4x3?5x4?1212.(中科大1998).取哪些值时,下面的方程组有非零解:
1?1??11???????11???x1??0???????1??x2??0????. ?????????????????n?1?????xn??0??1
1.3 矩阵代数
1.(北大2000).设实数域上的s?n矩阵A的元素只有0和1,并且A的每一行的元素的和是常数
r,A的每两个行向量的内积为常数m,其中m?r. (1)求|AA'|;(2)证明s?n;(3)证明AA'的特
征值全为正实数.
2.(北大2006).(1)设A,B分别是数域K上s?n,n?s矩阵,证明：
rank(A?ABA)?rank(A)?rank(En?BA).
(2) 设A,B分别是实数域上n阶矩阵,证明：矩阵A与矩阵B的相似关系不随数域扩大而改变. 3.(北大2007).矩阵A,B可交换,证明rank(A?B)?rank(A)?rank(B)?rank(AB).
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4.(北大2008).(1)设A,B分别是数域K上s?n,n?m矩阵,则对于所有m?l矩阵C,是否有
rank(ABC)?rank(BC)？给出你的理由.(2) A是n阶矩阵, A的每一元素的代数余子式都等
于此元素,求rank(A).
5.(北大2010).设A是非零矩阵,证明A可以写成某个列满秩矩阵与某个行满秩矩阵的乘积. 6.(中科院2007).设A是n阶实数矩阵,A?0,而且A的每个元素和它的代数余子式相等.证明A是可逆矩阵.
?/n??1?7.(中科院2006).若?为一实数,试计算lim?. ?n????/n1???a1???a???50100?100A8.(中科院2006).设a为实数,A??求的第一行元素之和. ?R,??1???a???9.(中科院2004).设A,B是n阶实方阵,而I是n阶单位阵,证明:若I?AB可逆,则I?BA也可逆.
n?10a???10.(中科院2003).已给如下三阶矩阵：A??01b?,(1)求det(A);(2)求Tr(A);(3)证明:
?cd1???rank(A)?2;(4)为使rank(A)?2,求出a,b,c和d应满足的条件.
11.(中科院2010).(1)设A,B是n阶方阵, A可逆,B幂零,AB?BA.证明:A?B可逆; (2)试举例说明上述问题中A,B可交换的条件不能去掉.
12.(中科大1997).(1)设n阶矩阵A????Ik?A21A12??,其中Ik是k阶单位矩阵,A22是n?k阶矩阵.证明: A22??k?rank(A)?n,其中rank(A)是A的秩.并证明rank(A)?k的充要条件是A22?A21A12.(2)设A是n阶可逆矩阵, ?和?是n维列向量,证明:n?1?rank(A???)?n,并且
Trank(A???T)?n?1的充要条件是: ?TA?1??1,这里?T表示?的转置.
?2?1?????12??13.(中科大1997).设5阶3对角矩阵A??.(1)计算A的行列式det(A); ????1????12???5?5
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(2)求A的逆矩阵A;(3)求A的Jordan标准形;(4)求对称矩阵A的正、负惯性指数;(5)将阶数5改为n,求n阶方阵A的行列式和逆矩阵. 14.(中科大1998).计算矩阵：
?1???cos7(1) ???sin??7??7??cos??7?sin??1997?1??0; (2) ?0??0?111??111?011??001???19.
15.(中科大1999). n?2,n阶方阵A?(aij)其中aij???0,i?j,?1求det(A)及A.
?1,i?j.16.(中科大1999,2008).求证:与任意n阶方阵可交换的方阵一定是纯量阵.
二、行列式
2.1 定义、性质和计算方法
1.(北大2010).A是复矩阵,B是幂零矩阵,且AB?BA.证明|A?2010B|?|A|. 2.(中科院2007).计算n阶3对角行列式
Dn?2cos?112cos??.
??112cos????????????n?n3.(中科院2006).已知?,?,?为实数,求A??的行列式的值. ?R????????????4.(中科院2005).给定一单调递减序列b1?b2???bp?0,定义????p!p?1????p?1?k?p?1?1min(bk?bk?1).
假设复数ak(k?1,2,?,p)满足|ak|??|ak?1|,k?1,2,?,p?1,且|ap|?1.证明以下行列式
a1b1b1a2D??1abpa1b2b2a2?2abp?a1p?a2p
???appbbbp1pbkb其绝对值有上下界如下：?|ak|?|D|?2?|ak|k.
pk?1k?1 27
5.(中科院2004).设A?(aij)是2004阶方阵,且aij?ij,1?i,j?2004.I是2004阶单位阵,计算
f(x)?det(I?Ax),这里x?R.
6.(中科院2010).设A,B分别是n?m和m?n矩阵, Ik是k阶单位矩阵.(1)证明
det(In?AB)?det(Im?BA);
(2)计算行列式
a1?x2?1?a1?x1?1?a2?x2?a?x1Dn?det?2????a?xan?x21?na1?xn???a2?xn??. ???1?an?xn???7.(中科院2011).设n阶方阵An??|i?j|?1?i,j?n,其行列式记为Dn,试证明:
Dn?4Dn?1?4Dn?2?0.
并由此求出行列式Dn.
8.(中科大2010).填空：(1)设n?2,A?(aij)n?n,aij?aj?bi则det(A)? .
a0??0??10?a1??(2)设n?1,矩阵A????,则A的特征多项式是 . ????0an?2????1an?1??
2.2 应用
1.(中科院2003).给了n个不同的数a1,a2,?,an,试求一个?n?1次的多项式f(x),使
f(ai)?bi,这里bi也是给定的值, i?1,2,?,n.
三、线性空间与线性变换
3.1 线性空间的基本理论
1.(北大1996).设线性空间V中的向量组
?1,?2,?3,?4线性无关. (1)试问：向量组
?1??2,?2??3,?3??4,?4??1是否线性无关？要求说明理由.(2)求向量组
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?1??2,?2??3,?3??4,?4??1
生成的线性子空间W的一个基以及W的维数.
2.(北大1998).设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合,对于f,g?V,a?R分别用下列式子定义f?g与af：
(f?g)(x)?f(x)?g(x), (af)(x)?af(x), ?x?R.
则V成为实数域R上的一个线性空间. 设
f0(x)?1,f1(x)?cosx,f2(x)?cos2x,f3(x)?cos3x.
(1)判断f0,f1,f2,f3是否线性相关,写出理由;(2)用?f,g?表示f,g生成的线性子空间,判断
?f0,f1???f2,f3?是否为直和,写出理由.
3.(北大1999).设V是实数域R上的n维线性空间, V上的所有复值函数组成的集合,对于函数的加法以及复数与函数的数量乘法,形成复数域C上的一个线性空间,记作C. 证明：如果
Vf1,f2,?,fn?1是CV中n?1个不同的函数,并且它们满足:
fj(???)?fj(?)?fj(?), ??,??V,
fj(k?)?kfj(?), ?k?R,??V,
则f1,f2,?,fn?1是C中线性相关的向量组.
4.(中科院2006).若向量?1,?2,?,?s(s?2)线性无关,讨论?1??2,?2??3,?,?s?1??s,?s??1 的线性相关性.
5.(中科大2010).填空：(1)设?1,?2,?3,?4是线性空间V中4个线性无关的向量,则向量组
V?1??2,?2??3,?3??4,?4??1的秩等于 . (2)在3维实向量空间R3中,设
?1,?2,?3?下的坐标?1?(?1,1,1)T,?2?(1,?1,0)T,?3?(1,0,?1)T,??(?4,3,4)T.则?在基?是 .
3.2 线性空间的子空间和商空间
1.(北大1999).设V是数域K上的一个n维线性空间, ?1,?2,?,?n是V的一个基.用V1表示由
?1??2????n生成的线性子空间,令
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n?n?V2???ki?i:?ki?0,ki?K?.
i?1?i?1?(1)证明V2是V的子空间;(2)证明V?V1?V2;(3)设V上的一个线性变换A在基?1,?2,?,?n下的矩阵A是置换矩阵(即: A的每一行与每一列都只有一个元素是1,其余元素全为0),证明V1与V2都是A的不变子空间.
2.(北大2002).用R表示实数域,定义R到R的映射如下：
nf(X)?|x1|???|xr|?|xr?1|???|xr?s|, ?X?(x1,x2,?,xn)T?Rn,
n其中r?s?0..证明：(1)存在R的一个n?r维子空间W,使得f(X)?0,?X?W.(2)若
W1,W2是Rn的两个n?r维子空间,且满足f(X)?0,?X?W1?W2,则一定有
dim(W1?W2)?n?(r?s).
3.(北大2002).设V是数域K上的n维线性空间, V1,?,Vs是V的s个真子空间,证明：(1)存在
??V,使得??V1?V2???Vs.(2)存在V中的一组基?1,?2,?,?n,使得
{?1,?2,?,?n}??V1?V2???Vs???.
4.(北大2005).设数域K上的n级矩阵A的(i,j)元为ai?bj （1）.求A; (2).当n?2时，
a1?a2,b1?b2.求齐次线性方程组AX?0的解空间的维数和一个基.
5.(北大2005).（1）设数域K上n级矩阵，对任意正整数m，求C [C是什么？]
（2）用Mn(K)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K上
ma1的线性空间。数域K上n级矩阵A?a2a3?anana1a2?an?1称为循环矩阵。用U表示K上所有n?????a2a3a4?a1级循环矩阵组成的集合。证明：U是Mn(K)的一个子空间，并求U的一个基和维数。 6.(中科院2003).给定R上线性空间V的子空间W1,W2,证明:
dim(W1?W2)?dim(W1)?dim(W2)?dim(V),
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这里dim表示空间维数. 7.(2009省区赛).设Cn?n是n?n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间,
?0??1F??0???0?0001?0?????0?an??n?10?an?1?n?1?kn?n, 其0?an?2?. (1)假设A??aij?n?n?C,若AF?FA,证明:A??an?k,1Fk?0???1?a1??n?n中, F?E(n阶单位矩阵). (2)求C的子空间C(F)?X?Cn?n:FX?XF的维数.
??
3.3 线性映射与线性变换
1.(北大1996).设V是数域K上的n维线性空间,并且V?U?W,任给??V,设
???1??2,?1?U,?2?W,令P(?)??1.证明:(1) P是V上的线性变换,并且P2?P;;(2)
P的核kerP?W, P的像(值域) ImP?U;(3) V中存在一个基,使得P在这个基下的矩阵是
?Ir??O?O??,其中Ir表示r级单位矩阵,请指出等于什么？ O??2.(北大1999). 设V和U是数域K上的n维, m维线性空间, A是V到U的一个线性映射.(1)证明：dim(KerA)?dim(ImA)?dimV;(2)证明:如果dimV?dimU,则A是单射当且仅当是A满射. 3.(北大2000).设V和V'是数域K上的有限维线性空间, A是V到V'的一个线性映射.证明,存在直和分解: V?U?W,V'?M?N,使得KerA?U,并且W?M.
4.(北大2001).设A是数域K上n维线性空间上的一个线性变换.在K[x]中,
f(x)?f1(x)f2(x),且f1(x)与f2(x)互素,用KerA表示线性变换A的核.证明：
Kerf(A)?Kerf1(A)?Kerf2(A).
5.(北大2001).设A是数域K上n维线性空间上的一个线性变换.是I恒等变换.证明：A?A的充分必要条件是 rank(A)?rank(A?I)?n.
6.(北大2002).设正整数n?2,用Mn(K)表示数域K上全体n?n矩阵关于矩阵加法和数乘所构成的K上的线性空间.在Mn(K)中定义变换?如下：
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???aij?n?n??aij?n'' 其中 a??(a)?M(K),?aij,?i?aijijn?nnn?n?ii??i?1??i?j;i?j.
(1)证明?是Mn(K)上的线性变换.(2)求出Ker(?)的维数与一组基.(3)求出?的全部特征子空间.
7.(北大2005).设A是数域R上n维线性空间V上的一个线性变换，用I表示V上的恒等变换，证明： A3?I?rank(I?A)?rank(I?A?A2)?n
8.(北大2006).设V是数域K上的n维线性空间, A1,A2,?,As是V上的线性变换,令
A?A1?A2???As.证明:
A为幂等变换且 rank(A)?rank(A1)?rank(A2)???rank(As)
的充分必要条件是各均为Ai幂等变换,且AiAj?0,i?j.
9.(北大2007). n维线性空间V上的一个线性变换A的最小多项式与特征多项式相同.试证明存在??V,使得
??,A?,?,A??为V的一个基.
n?110.(北大2008).设V是数域K上的n维线性空间, A,B是V上的线性变换,且A,B的最小多项式互素,求满足AC?CB的所有线性变换C.
n11.(中科院2006).设f是有限维向量空间V上的线性变换,且f是V上的恒等变换,这里n是某
个正整数.设W?{v?V:f(v)?v}.证明W是V的一个子空间,并且其维数等于线性变换
1(f?f2???fn)的迹. n12.(中科院2004).设V是n维向量空间, f,g是V上的线性变换(即f,g?L(V)),且f有n个互异的特征根.证明: fg?gf的充要条件是g是
f0?I (恒等变换), f,f2,?,fn?1 的线性组合.
13.(中科院2010).设Mn(C)是复数域上所有n阶方阵构成的线性空间, T:Mn(C)?C是一个线性映射,满足
T(AB)?T(BA).
证明:存在??C,使得对任意A?Mn(C),T(A)???Tr(A),其中, Tr(A)表示矩阵A的迹.
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14.(中科院2011).设?,?,?是3维线性空间V的一组基,线性变换A满足
?A(??2???)??,??A(3??4?)??, ?A(4??5?)??.?试求A在基?,2???,?下的矩阵.
15.(中科大1998).设V是实数域上全体2?2矩阵组成的线性空间(维数为4), V上的线性变换?将每个矩阵X映到它的转置X',求V的一组基,使?在这组基下的矩阵为对角阵. 16.(中科大2010).设A为数域F上的线性空间U到V上的线性映射.证明:
dimKer(A)?dimIm(A)?dimU.
17.(2009决赛).设V是复数域C上的n维线性空间,fj:V?C是非零的线性函数,j?1,2.若不存在0?c?C使得f1?cf2,证明:任意的??V都可表为???1??2使得
f1(?)?f1(?2), f2(?)?f2(?1).
3.4 线性变换与矩阵的特征问题、不变子空间
1.(北大1997).设A是实数域R上的3维线性空间V内的一个线性变换,对V的一组基
?1,?2,?3,有:
A?1?3?1?6?2?6?3, A?2?4?1?3?2?4?3, A?3??5?1?4?2?6?3.
(1)求A的全部特征值和特征向量;(2)设B?A?5A,求B的一个非平凡的不变子空间. 2.(北大2007).复矩阵A满足：对任意k,有Tr(A)?0.试求A的特征值.
3.(中科院2007).设A是复数域上6维线性空间V的线性变换, A的特征多项式为(??1)(??1)(??2),
证明V能分解成三个不变子空间的直和,而且它们的维数分别是1,2,3.
4.(中科院2003).给定R上二维线性空间V的线性变换A,A在一组基下的矩阵表示为
32k31??0A???1?a0??,a?0.
??求A的不变子空间.
5.(中科院2010).已知3阶正交矩阵A的行列式为1.证明: A的特征多项式一定为
f(?)??3?a?2?a??1,
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其中,a是实数,且?1?a?3.
6.(中科院2010).证明:任意n阶实方阵A的特征向量也是其伴随矩阵A*的特征向量.
7.(中科院2010).设A是n维实线性空间V的线性变换,证明: A至少有一个维数为1或2的不变子空间.
?c0??cn?1CC?8.(中科院2010).设n阶循环矩阵为????c?1应的特征向量;(2)求C的行列式det(C).
c1c0?c2?cn?1???cn?2?. (1)求C的所有特征值以及相?????c0???ab?201129.(中科院2011).已知二阶矩阵A???cd??的特征多项式为(??1),试求A?2011A.
??2?2??2??5?4?..(1)求A的特征多项式,并确定其是否有重10.(中科院2011).已知矩阵A??2??2?45???根;(2)求一个正交矩阵P,使得PAP?1为对角矩阵;(3)令V是所有与A可交换的实矩阵全体,证明
V是一个实数域上的线性空间,并确定V的维数.
11.(中科院2011).设A,B是两个n阶复矩阵n?1.(1)如果AB?BA,证明A,B有公共的特征向量;(2)如果AB?BA??B,其中?是一个非零复数,那么A,B是否会有公共的特征向量？回答“是”请给出证明;回答“否”请给出反例.
12.(中科大1999).设A是复数域上的n维线性空间V上的线性变换,具有n个不同的特征值
?1,?,?n,而?1,?,?n分别是属于这些特征值的特征向量.求证: ?1????n生成的循环子空间
等于V.
13.(中科大2010)设数域F上有限维空间V上线性变换A和B满足AB?aBA(a?F,a?1),且
A是可逆线性变换,证明:(1)B为幂零变换(即存在正整数n,B?0).(2)A和B有一个公共特征
向量.
14.(2009省区赛).假设V是复数域C上n维线性空间(n?0),f,g是V上的线性变换,如果
nfg?gf?f,证明: f的特征值都是0,且f,g有公共特征向量.
四、双线性函数与二次型
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4.1 双线性函数
1.(北大2000). (1)设V是实数域上的线性空间, f是V上的正定的对称双线性函数, U是V的有限维子空间.证明：V?U?U,其中U?????V:f(?,?)?0,???U?.(2) 设V是数域K上的n维
?线性空间, g是V上的非退化的对称双线性函数. W是V的子空间.令
W?????V:g(?,?)?0,???W?,证明：(a) dimV?dimW?dimW?;(bW?????W).
2.(北大2007). f为双线性函数,且对任意的?,?,?都有f(?,?)f(?,?)?f(?,?)f(?,?).试证明为对称的或反对称的.
3.(2010省区赛).设A为n?n实矩阵(未必对称),对任一n维实向量??(a1,?,an),?A?T?0 (这
T里?表示?的转置),且存在n维实向量?,使得?A?T?0,同时对任意n维实向量x和y,当时
xAyT?0有xAyT?yAxT?0.证明:对任意n维实向量v,都有vA?T?0.
4.(2010决赛).设?:Mn(R)?R是非零线性映射,满足?(XY)??(YX),?X,Y?Mn(R),这里
Mn(R)是实数域R上n阶方阵组成的线性空间.在Mn(R)上定义双线性型(X,Y)??(XY).(1)证明
双线性型(?,?)是非退化的,即若(X,Y)?0,?Y?Mn(R),则X?0;(2)设?A2n2k1?是Mn(R)的一组基,
?B?
n2k1n?1,i?j,是相应的对偶基,即(Ai,Bj)??ij?? 证明?AiBi是数量矩阵.
0,i?j.i?1?4.2 二次型
1.(北大2002).用正交变换化下面二次型为标准形：
22f(x1,x2,x3)?x12?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3.
(要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形).
2222.(中科院2007).设二次型f?x1?x2?x3?2ax1x2?2x1x3?4bx2x3.通过正交变换化为标准22形f?y2,求参数a,b及所用的正交变换. ?2y33.(中科院2006).已知二次曲面方程x?ay?z?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换
222(x,y,z)T?P(x',y',z')T化为椭圆柱面方程y'2?4z'2?4..求a,b的值和正交矩阵P.
35
?a12??a2a14.(中科院2005).(1)考虑如下形式的矩阵P?????aa?n1a1a22a2?ana2?a1an???a2an?,其中,ai(1?i?n)都????2??an?为实数.证明:矩阵P非负定;(2)证明:非零实二次型f(x1,?,xn)可以写成
f(x1,?,xn)?(u1x1???unxn)(v1x1???vnxn)
的充要条件是：或者它的秩为1,或者它的秩为2且符号差为0.
2225.(中科大2008).已知二次型Q(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x2?4x2x3?4x1x3.(1)用正交变
换将Q(x1,x2,x3)化为标准形.(2)判断曲面Q(x1,x2,x3)?1的类型.
6.(中科大2010).填空:定义所有n阶实方阵构成的实线性空间V上的对称双线性函数为
f(X,Y)?Tr(XTY),X,Y?V,二次型为Q(X)?f(X,X),
则Q(X)的正、负惯性指数分别为 .
4.3 二次型的应用.
1.(中科院2006).设有实二次型f?xTAx, 其中x是x转置,A是3?3实对称矩阵并满足以下方
32222程：A?6A?11A?6I?0.试计算 maxmaxf(x),其中||x||2?x1?x2?x3,第一个极大值是
A||x||?1T满足以上方程的所有实对称矩阵A来求.
222.(中科院2004).令f(x,y)?2x?7xy?y.,求f(x,y)在R中单位圆上的极大值与极小值及极值点.
22223.(中科大1998).求证:曲面3x?2y.?2z?2xy?2xz?8?0是椭球面.并求出这个椭球面所围成
4x2y2z2的体积.(允许引用椭球面2?2?2?1(a,b,c?0)所围成的体积的公式V??abc..).
3abc
4.4 对称矩阵与Hermite矩阵
1.(北大2008).(1) A,C分别是n阶实矩阵, B是n?m实矩阵,并且???AT?BB??是正定矩阵.证明, ?C??Adet??BT?B???det(A)?det(C),并且等号成立当且仅当B?0. C??2(2) A?(aij)n?n是n阶实矩阵, |aij|?1,证明?det(A)??n2.
2.(中科院2007).设A是实对称矩阵,如果A是半正定的,则存在实的半正定矩阵B,使得A?B.
36
2
3.(中科院2005).证明函数logdet(?)在对称正定矩阵集上是凹函数,即:对于任意两个n?n对称正定矩阵A,B,及???[0,1],有
logdet??A?(1??)B???logdet(A)?(1??)logdet(B),
其中,函数logdet(A)表示先对矩阵A取行列式再取自然对数.
4.(中科院2004).设A,B为同阶对称正定阵.若A?B (即A?B为正定阵),试问是否一定有
A2?B2？为什么？
5.(中科院2004).证明:若S为n阶对称正定矩阵,则(1)存在唯一的对称正定矩阵S1使得
S?S12;(2)若A是n阶实对称矩阵,则AS的特征值是实数.
6.(中科院2004).设A为n阶实对称矩阵,b为n维实向量,证明: A?bb?0的充要条件是
TA?0及bTA?1b?1. 其中bT表示b的转置.
7.(中科院2003).若Q为n阶对称正定方阵,x为n维实向量,证明: 0?xT(Q?xxT)x?1,这里
xT表示x的转置.
8.(中科院2010).(1) n阶方阵A能表成:A?H?K,其中H?H,K??K,B是矩阵B的共轭转置.设a,h,k代表A,H,K中元素的最大模.若z?x?iy(x,y分别是实部与虚部)是A的任一特征值,试证明: |z|?na,|x|?nh,|y|?nk; (2)证明:Hermite矩阵的特征值都是实数;(3)证明:反对称矩阵的特征值都是纯虚数.
9.(中科院2011).设A是n阶实方阵,证明A为实对称矩阵当且仅当AA?A,其中A表示矩阵A的转置.
10.(中科大2008). n阶实对称方阵A,B,A?B的正惯性指数分别是pA,pB,pA?B.证明:
T2TTTTpA?pB?pA?B.
11.(2009决赛).设A,B均为n阶半正定实对称矩阵,且满足n?1?rank(A)?n.证明存在实可逆矩阵C使得CAC,CBC均为对角阵.
TT
五、带度量的线性空间
37
5.1 Euclid空间与Schmidt正交化
1.(北大1996).用R4[x]表示实数域R上次数小于4的一元多项式组成的集合,它是一个Euclid空间,其上的内积：(f,g)?个基.
?10f(x)g(x)dx.设W是由零次多项式组成的子空间, 求W?以及它的一
1??10???2?. (1)判断A是否为正定矩阵,要求写2.(北大1999). 设实数域上的矩阵A为：A??06?1?22???出理由;(2)设V是实数域上的3维线性空间, V上的一个双线性函数f(?,?)在
V的一个基?1,?2,?3下的度量矩阵为A. 证明f(?,?)是V的一个内积,并且求出V对于这个内
积所成的欧氏空间的一个标准正交基.
3.(北大2001).在实数域上的n维列向量空间R中,定义内积为(?,?)??'?,从而R成为Euclid
nn?1?35?2????31?.求齐次线性方程组AX?0的解空间的一空间.(1)设实数域上的矩阵A???21??1?79?4???个正交基.(2)设A是实数域R上的矩阵,用W表示齐次线性方程组AX?0的解空间,用U表示A'的列空间(即, A'的列向量组生成的子空间).证明：U?W. 4.(北大2005).（1）设实数域R上n级矩阵H的(i,j)元为
?1（n?1）。在实数域上n维线
i?j?1nn性空间R中，对于?,??R，令f(?,?)???H?。试问：f是不是R上的一个内积，写出理
n由。
n（2）设A是n级正定矩阵（n?1）??R，且?是非零列向量。令B?A???，求B的最大特
征值以及B的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基.
5.(中科院2005).给定两个四维向量?1?(1/3,?2/3,0,2/3)T,?2?(?2/6,0,1/6,1/6)T.求作一个四阶正交矩阵Q,以?1,?2作为它的前两个列向量.
6.(中科大1997).设R是所有n维行向量组成的n维欧氏空间,其中向量??(x1,?,xn)和
n??(y1,?,yn)的内积为(?,?)??xkyk. Rn中所有下标k为偶数的xk之和为零的向量之集
k?1nV是R的子空间;(2)求维数dim(V),并给出V的一组标准正交基;(3)确定V合记作V.(1)证明：
38
n
的正交补.
7.(中科大1999).设V?Rm?n是实数域上全体m?n实矩阵组成的向量空间, S是正定的n阶实
对称方阵.对任意X,Y?V,定义(X,Y)?Tr(XSY').证明(X,Y)是V上的Euclid内积. 8.(中科大2010).填空:用Gram-Schmidt正交化方法将(标准内积)的基
?(1,1,1)T,(?1,0,?1)T,(?1,2,3)T
?化成的标准正交基是 .
9.(中科大2010).设V是n维欧氏空间, (?,?)为其内积, V*为其对偶空间.证明：(1)对于每个给定的??V,映射f?:V?R,??(?,?)是V*中的一个元素.(2)映射f:V?V*,??f?是
n维线性空间V到V*的同构映射.
5.2 欧氏空间中的特殊线性变换
1.(北大1997).设A是维欧氏空间V内的一个线性变换,满足：
(A?,?)??(?,A?) (??,??V).
(1)若?是A的一个特征值,证明 ??0;(2)证明V内存在一组标准正交基,使A在此组基下的矩阵为对角矩阵;(3)设A在V的某组标准正交基下的矩阵为A,证明：把A看作复数域C上的n阶方阵,其特征值必为0或纯虚数.
2.(北大1998).用M2(C)表示复数域C上所有2级矩阵组成的集合.令
2V??A?M2(C):Tr(A)?0,A*?A?,
其中Tr(A)表示A的迹, A*表示A的转置共轭矩阵.
(1)证明V对于矩阵的加法,以及实数与矩阵的数量乘法成为实数域上的线性空间,并且说明V中元素形如
?a1??a?ia3?2(2)设A???a2?ia3??, 其中a1,a2,a3都是实数, i??1 ; ??a1?b2?ib3??,考虑上的一个二元函数： ?b1??a1?a2?ia3?a2?ia3??b1??,B? ?b?ib?a1?3??2(A,B)?a1b1?a2b2?a3b3.
证明这个二元函数是V上的一个内积,从而V成为Euclid空间,并且求出V的一个标准正交基,要
求写出理由;
(3)设T是一个酉矩阵(即, T满足T*T?I,其中I是单位矩阵),对任意A?V,规定
39
?T(A)?TAT?1, 证明?T是V上的正交变换;
(4) ?T的意义同第(3)小题,求下述集合S?{T:det(T)?1,?T?1V},其中det(T)表示T的行列式, 1V表示V上的恒等变换.
3.(北大2007). V是Euclid空间, U是V的子空间, ??V.试证明?是?在U上的正交投影的充分必要条件是：对任意??U,都有|???|?|???|.
4.(北大2008). A是维欧氏空间V上的正交变换,证明A是第一类的当且仅当存在V上的正交变换B,使得A?B.
5.(北大2010).线性变换A是对称变换,且A是正交变换.证明A是某个对合(即满足A?E,E是单位变换).
6.(北大2010).V是内积空间,?,?是中两个长度相等的向量,证明必存在某个正交变换,将?变到?. 7.(中科院2003).设A是欧氏空间R的一个变换.试证:如果A保持内积不变,即对于R中任意两个向量?,?都有(A?,A?)?(?,?), 那么,它一定是线性的,而且是正交的.
8.(中科大1997).设A是n维欧氏空间V的线性变换,称A是对称的,如果对任意
nn2?,??V,(A?,?)?(?,A?).称对称线性变换A是非负的,如果对任意??V,(?,Aa)?0.证明:
对称线性变换A非负的充要条件是, A的特征值全是非负实数.
5.3 酉空间(酉矩阵与酉变换)
1.(北大2006).设X?{1,2,?,n},用C表示定义域为X的所有复值函数组成的集合,它对于函数
X的加法和数量乘法成为复数域C上的一个线性空间.对于f(x),g(x)?C,规定
nX?f(x),g(x)???f(j)g(j).这个二元函数是复线性空间CX上的一个内积,从而CX成为一个
j?1X酉空间.设p1(x),p2(x),?,pn(x)?C,且对任意j?X,满足
pk(j)?X1n?,其中??ekj2?in.
X(1)求复线性空间C的维数.(2)证明p1(x),p2(x),?,pn(x)是酉空间C上的一个标准正交基.(3)
40
对任意f(x)?C,令??f(x)??f(x),?f(x)?C,其中f(x)在x?k处的函数值f(k)是f(x)在
XX???标准正交基p1(x),p2(x),?,pn(x)下的坐标的第k个分量.证明?是酉空间C上的一个线性变换,并且求出?在标准正交基p1(x),p2(x),?,pn(x)下的矩阵.(4)证明第(3)题中的?是酉空间C上的一个酉变换.
2.(中科大2008,2010).证明: 酉矩阵的特征值的模长是1.
XX
六、矩阵与线性变换的标准形
6.1 矩阵的化简(对角化)与分解
1.(北大1996). n级矩阵A称为周期矩阵,如果存在正整数m使A?I,其中I是单位矩阵,证明:复数域上的周期矩阵一定可以对角化.
3.(北大1998).用J表示元素全为1的n级矩阵,n?2.设f(x)?a?bx是有理数域上的一元多项式,令A?f(J).(1)求J的全部特征值和全部特征向量;(2)求A的所有特征子空间;(3)A是否可以对角化？如果可对角化,求出有理数域上的一个可逆矩阵P使得PAP为对角矩阵,并且写出这个对角阵.
3.(北大2000).设V是数域K上的n维线性空间, A是V上的线性变换,且满足A?7A??6I,其中I表示V上的恒等变换.判断A是否可对角化,写出理由.
3?1m?010???4.(北大2001).(1)设A??001?.(a)若把A看成是有理数域上的矩阵,判断A是否可对角
??23?1???化,写出理由. (b)若把A看成是复数域上的矩阵,判断A是否可对角化,写出理由.
(2)设A是有理数域上的n级对称矩阵,并且在有理数域上合同于单位矩阵I.用?表示元素全为1的列向量, b是有理数.证明：在有理数域上 ??0?Ab???I????相似. 与2?1????b?'b??0b?b?'A??5.(北大2006). (1)设A是数域K上的n阶矩阵,证明：如果矩阵A的各阶顺序主子式都不为0,那么可以唯一地分解成A?BC,其中B是主对角元都为1的下三角矩阵, C是上三角阵.(2) 设A是数域K上的n阶可逆矩阵,试问：A是否可以分解成A?BC,其中B是主对角元都为1的下三角矩阵, C是上三角阵?说明理由.
6.(北大2008). 设A是数域K上的n阶矩阵, A的特征多项式的复根都属于K,证明A相似于上三角矩阵.
41
?100???nn?2?A2?I,并计算A100,其中7.(中科院2007).已知A??101?,试证明对n?3,有A?A?010???I表示单位矩阵.
8.(中科院2005).证明：(1)任何n阶实对称方阵A必合同于对角阵D?diag{?1,?,?n},即存在n阶非奇异实方阵C使得CAC?D,这里?i??1或0或1;(2)任何n阶实反对称非奇异方阵B必为偶数阶(即n?2k),且合同于块对角阵F?diag{J1,?,Jm},即存在n阶非奇异实方阵E使得
T?0?1?ETBE?F,这里Jk???10??;(3)对迹(对角元之和)为0的n阶实方阵G,必存在实正交阵H,
??使得HGH的主对角元全为零.(注：这里X表示X的转置).
7.(中科院2003).设A是2003阶实方阵,且A?0,这里r是自然数.问A的秩rank(A)最大是多少？
8.(中科大1998).设A,B是n阶复方阵,且AB?BA.证明:(1)A,B有公共的特征向量;(2)如果
rTTA,B都相似于对角阵,则存在同一个可逆复方阵T,使T?1AT与T?1BT同时为对角阵.
8.(中科大2008).证明: n阶实方阵A正交相似于一个准上三角阵
?B1???B??0?0????0其中Bj为二阶实方阵,?k为实数.
?**?*?????0???Bs?0???0?2s?1?0*????*?, *?????n?9.(中科大2008).设实方阵A,B相似且相合,问A,B是否正交相似,试证之.
10.(2010决赛).设A?Mn(C),定义线性变换?A:Mn(C)?Mn(C),?A(X)?AX?XA.证明:当A可对角化时, ?A也可对角化,这里Mn(C)是复数域C上n阶方阵组成的线性空间.
6.2 Jordan标准形及其应用
1.(中科院2006). A?R2006?2006是给定的幂零阵(即：存在正整数p,使得A?0而App?1?0),试
分析线性方程Ax?0(x?R2006)非零独立解个数的最大值与最小值.
42
?0??02.(中科院2005).(1)求矩阵A??0??0?100011001??1?Ae的Jordan标准形,并计算 (注：按通常定义?1?0??4.5?1??4??1213A2005B??3?3.51e?I?A?A?A??);(2)设??， 求B (精确到小数点后4位).
2!3!??2?31.5???3.(中科院2011).设A是n阶实方阵,其特征多项式有如下分解：p(?)?det(?E?A)??(???k?1sk)rk,
其中E为n阶单位方阵,诸?k两两不相等.试证明A的Jordan标准形中以?k为特征值的Jordan块的个数等于特征子空间V?k的维数.
4.(中科大1999).设Fn[x]是数域F上次数?n的全体多项式构成的线性空间. Fn[x]上线性变换
D将每个多项式f(x)映到其导函数f'(x).(1)求D的特征多项式和最小多项式.(2)找出Fn[x]的
一组基,使D在这组基下的矩阵是Jordan标准形.(3)设I是Fn[x]上的单位变换,
DkA?I??.求证A是Fn[x]上的可逆变换,并求出A的逆.
k?1k!n?15.(中科大2008).填空：(1)已知四阶?方阵A(?)的秩为4,初等因子组为
?,?2,?3,(??1)2,(??1)3,??1,
则A(?)的不变因子是 ,行列式因子是 .
?00?2??????0?,求它的Smith标准形 . (2) A(?)??0??2??0?0???1??0(3) A??0??0?0?0100??1010?0101?的Jordan标准形是 . ?0010?0001?? 43
???1??2?1???226.(中科大2010).填空: ??矩阵?3??1??2?3??1?的Smith标准形是 .
???1?22???1???2?11????17.(中科大2010).设A??22?1?,求方阵P,使得PAP为A的Jordan标准形.
?12?1????01030???28.(2010省区赛).设B??002010?.证明X?B无解,这里X为三阶未知复方阵.
?000???
6.3 最小多项式
?110???1.(北大1999).设实数域上的矩阵A为：A???101?. (1)求A的特征多项式fA(?);(2)
??300???fA(?)是否为实数域上的不可约多项式;(3)求A的最小多项式,要求写出理由;(4)实数域上的矩阵
A是否可对角化,要求写出理由.
2.(北大2006).(1)设A是实数域R上的n阶对称矩阵,它的特征多项式f(?)的所有不同复根为实数: ?1,?2,?,?n. 把A的最小多项式m(?)分解成上不可约多项式的乘积,说明理由;(2) 设A是实数域R上的n阶对称矩阵,令A(?)?A?,???R. 根据第(1)问中m(?)的因式分解,把分解
nRn成线性变换A的不变子空间的直和, 说明理由.
3.(中科大1998).证明:复方阵A的最小多项式与特征多项式相等的充要条件是:A的特征子空间
都是一维的.
七、多项式环
7.1 一元多项式的整除理论
1.(北大2000).设f(x)和p(x)都是首项系数为的整系数多项式,且p(x)在有理数域Q上不可约.如果p(x)与f(x)有公共复根?,证明(1)在Q[x]中,p(x)整除f(x);(2)存在首项系数为1的整系数多项式g(x),使得f(x)?p(x)g(x). 2.(北大2002).对于任意非负整数n,令fn(x)?xn?2?(x?1)2n?1, 证明: x2?x?1,fn(x)?1.
?? 44
3.(中科院2007).设多项式f(x),g(x),h(x)只有非零常数公因子,证明:存在多项式
u(x),v(x),w(x),使得u(x)f(x)?v(x)g(x)?w(x)h(x)?1.
4.(中科院2007).设m,n,p都是非负整数,证明：x2?x?1|x3m?x3n?1?x3p?2.
5.(中科院2005).试求7次多项式f(x),使f(x)?1能被(x?1)4整除,而f(x)?1能被(x?1)4整除.
7.2 根与可约性
1.(北大1997).设f(x)是有理数域Q上的一个m次多项式(m?0),n是大于m的正整数,证明
n2不是f(x)的实根.
2.(北大2000).设f(x)和p(x)都是首项系数为的整系数多项式,且p(x)在有理数域Q上不可约.如果p(x)与f(x)有公共复根?,证明(1)在Q[x]中,p(x)整除f(x);(2)存在首项系数为1的整系数多项式g(x),使得f(x)?p(x)g(x)..
3.(北大2008).f(x)为一整系数多项式,n不能整除f(0),f(1),?,f(n?1),证明f(x)无整数根.
4.(北大2010).整系数多项式f(x)??ak?0nkxk(n?2010),若存在素数p满足:
i) an不被p整除, ⅱ) p|ak,k?0,1,2,?,2008; ⅲ) p2|a0.
证明f(x)必有次数不低于2009的不可约整系数因式.
npk5.(中科院2011).设是既约分数, f(x)??akx是整系数多项式,而且
qk?0?p?(1) p|a0,f??q???0.证明：
??而q|an;(2)对任意整数m,有(p?mq)|f(m).
7.3 实系数多项式实根的分布 7.4 多元多项式
八、解析几何
8.1 向量与坐标
1.(北大2001). 在空间直角坐标系中,点A,B,C的坐标依次为：(?2,1,4),(?2,?3,?4),(?1,3,3) (1)求四
45
面体OABC的体积;(2)求三角形ABC的面积.
2.(北大2006).证明四面体的每个顶点到对面重心的连线都相交于一点,而且该点分线段比为3:1.
x2y2z2???1被点(2,?1,1)平分的弦. 3.(北大2007).求椭球面
251694.(中科大1998,2008). 求以A(1,2,2),B(2,4,1),C(1,?3,5),D(4,?2,3)为顶点的四面体的体积. 5.(中科大1999).设平面?:Ax?By?Cz?D?0与连接两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的线段相交于点M,且M1M?kMM2.证明 k?Ax1?By1?Cz1?D.
Ax2?By2?Cz2?D?????????????6.(2009决赛).填空: 设?a?b??c?6,则?a?b??(b?c)?(a?c)? .
????
8.2 轨迹与方程
1.(北大1997).过x轴和y轴分别做动平面,交角?是常数,求交线轨迹的方程,并且证明它是一个锥面.
2.(北大1998). 在直角坐标系中,球面的方程为：(x?1)2?y2?(z?1)2?4.求所有与向量
u(1,1,1)平行的球面的切线所构成的曲面的方程.
3.(北大2001). 在空间直角坐标系中, l1:x?ayzxy?1z??与l2:??,是一对相交直1?2321?2线(1)求a;(2)求l2绕l1旋转出的曲面的方程.
?z?3x?2,4.(北大2002). 在空间直角坐标系中,求直线? 绕z轴旋转所得旋转曲面的方程.
z?2y?1?5.(北大2010). 求直线??x?y?z?1, 绕z轴旋转所得旋转曲面的方程,并指出这是什么曲面.
?x?y?z?1?2x?y?z?06. (北大2005).在直角坐标系中，求直线l:?到平面?:3x?By?z?0的正交投
x?y?2z?1?影轨迹的方程。其中B是常数.
7.(北大2006).一条直线与坐标平面yOz面、zOx面、xOy面的交点分别是A,B,C.当直线变动时,直线上的三个定点A,B,C也分别在坐标平面上变动.此外,直线上有第四点P,点P到三点的距离分别是a,b,c.求该直线按照保持点A,B,C分别在坐标平面上的规则移动时,点P的轨迹.
?8.(北大2006). P是球内一定点, A,B,C是球面上三动点, ?APB??BPC??CPA?2,以
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PA,PB,PC为棱作平行六面体,记与P相对的顶点为Q,求Q点的轨迹.
9.(北大2008).证明球面x2?y2?z2?2x?2y?4z?2?0与球面x2?y2?z2?2x?6y?1?0有交点,并求出交圆的圆心坐标.
10.(中科大2008).已知直线l1:x?1?y?2??z?1和平面?:2x?y?z?0. ?2(1)求l1在?上的投影直线l2的方程.(2)求l1绕l2旋转所得的旋转曲面的方程.
?y?x211.(中科大2010).填空：(1)以曲线?为准线,原点为顶点的锥面方程为 . (2)
?z?2以xOy平面上的曲线f(x,y)?0绕x轴旋转所得的旋转面的方程是 ； 如果曲线方程是x2?y2?1?0,由此得到的曲面类型是 . xyz?b??. (1)问:参数a,b满足什么1a1条件时, L与L'是异面直线？(2)当L与L'不重合时,求L'绕L旋转所生成的旋转面?的方程,
12.(2009决赛).已知两直线的方程:L:x?y?z, L':并指出曲面?的类型.
8.3 平面与空间直线
1.(北大1996).在仿射坐标系中，求过点M0(0,0,?2),与平面?1:3x?y?2z?1?0平行,且与直线l1:x?1y?3z??相交的直线l的方程. 4?212.(北大1998,2002).设在直角坐标系中给出了两条互相异面的直线l1,l2的普通方程：
?x?y?z?1?0, l2l1:??x?y?2z?1?0;?3x?y?1?0, :??y?3z?2?0.(1)过l1作平面?,使?与l1平行;(2)求l1与l2间的距离;(3)求l1与l2的公垂线的方程. 3.(北大1999).在仿射坐标系中，已知直线l1,l2的方程分别是
l1:x?13y?5zx?10y?7z??, l2:??, 231541(1)判断直线l1与l2的位置关系,要求写出理由;(2)设直线l的一个方向向量为v(8,7,1),并且l与l1和l2都相交,求直线l的方程.
x2?y2?z2?1的交线为一个圆. 4.(北大2006).求一个过x轴的平面,使得其与单叶双曲面4 47
5.(北大2006).在仿射坐标系中，已知直线l1的方程为???x?y?z?7?0, l2过点M(?1,1,2),
?2x?y?6?0,平行于向量u(1,2,?3),判断直线l1与l2的位置关系,要求写出理由.
?A1x?B1y?C1z?D1?0,6.(北大2007). l直线的方程为?问系数要满足什么条件,才能使得直线满
Ax?By?Cz?D?0.222?2足下列条件(1)过原点;(2)平行于x轴,但不与x轴重合;(3)与y轴相交;(4)与z轴重合. 7.(北大2008).求过直线l:??x?y?z?4?0,且与平面?1:x?y?2z?0垂直的平面?2.
?x?y?3z?0,??x?y?z?0,8.(北大2008).直线l1过点(1,1,1),,并且与直线l2:?相交,交角为,求l1的方程.
3?x?y?3z?0,9.(北大2010).求过z轴且与平面x?2y?3z?1夹角10.(中科大2010).设空间上有直线l1:?3,为的平面的方程.
x?1yz??和l2:(x,y,z)?(3?2t,t,3t?3).设平面?310与直线l1,l2平行,且?与l1的距离是91,求?的方程.
8.4 二次曲面
1.(北大1996).作直角坐标变换,把下述二次曲面方程化成标准方程,并指出它是什么曲面：
x2?4y2?z2?4xy?8xz?4yz?2x?y?2z?25?0 162.(北大1999). 在直角坐标系Oxyz中,设顶点在原点的二次锥面S的方程为
a11x2?a22y2?a33z2?2a12xy?2a13xz?2a23yz?0.
(1)如果三条坐标轴都是S的母线,求a11,a22,a33;(2)证明：如果S有三条互相垂直的直母线,则
a11?a22?a33?0.
3.(北大2000). 在直角坐标系中,一个柱面的准线方程为??xy?4,母线方向为(1,?1,1)求这个柱面的方程.
?z?0,?204????14.(北大2000).(1)设实数域上的矩阵A??060?, 求正交矩阵T, 使得TAT为对角矩阵,
?402???并且写出这个对角阵.(2) 在直角坐标系Oxyz中,二次曲面S的方程为
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2x2?6y2?2z2?8xz?1.
作直角坐标变换,把S的方程化成标准方程,并且指出它是什么二次曲面.
x2y25.(北大2007).证明双曲抛物面2?2?2z的相互垂直的直母线的交点在双曲线上.
ab6.(北大2008).平面Ax?By?Cz?D?0与单叶双曲面x2?y2?z2?1的交线是两条直线,证明：A?B?C?D.
7.(2009省区赛).求经过三平行直线L1:x?y?z,L2:x?1?y?z?1,L3:x?y?1?z?1, 的圆柱面方程.
8.(2010省区赛).已知二次曲面?(非退化)过以下九点：A(1,0,0),B(1,1,2),C(1,?1,?2),D(3,0,0),
2222E(3,1,2),F(3,?2,?4),G(0,1,4),H(3,?1,?2),I(5,22,8).问?是哪一类曲面？
9.(2010决赛).求出过原点且和椭球面4x2?5y2?6z2?1的交线为一个圆周的所有平面.
8.5 二次曲线的一般理论
1.(北大1997).判断下列二次曲线类型：(1) x2?3xy?y2?10x?10y?21?0; (2)x?4xy?4y?20x?10y?30?0.
2.(北大2000). 在平面直角坐标系Oxy中,二次曲线的方程为：
22x2?3xy?y2?10x?10y?21?0.
求I1,I2,I3;指出这是什么二次曲线,并且确定其形状.
3.(北大2005).在直角坐标系中对于参数?的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：
x2?y2?2?xy???0.对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直
线的方程.
4.(北大2010).定义仿射坐标系Oxy中的一个变换f:?(1)求在f下的不变直线.
(2)以两条不变直线为坐标轴建立仿射坐标系O'x'y',求在此坐标系中f的变换公式.
(3)用不过圆锥顶点的平面切割圆锥,证明所截的曲线只可能为椭圆、双曲线和抛物线.并说明曲线
类型随切割角度的变换规律.
?x'?7x?y?1
?y'?4x?2y?4. 49
5.(中科大1997).给定直角坐标平面Oxy上的二次曲线?,其方程为
Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0.
证明:当B?4AC?0时,曲线?的方程可经坐标旋转变换和平移变换简化为
2?1x'2??2y'2?24?,
B2?4ACB/2D/2??A??24AC?BCE/2?. ?0的根,而??det?B/2其中?1和?2是方程?1?(A?C)??4?D/2E/2F????1??x??26.(中科大1999).在平面直角坐标系中, ??y????3?????23??x?2????表示平面上的点的怎样的变换？ ???1?y??2?7.(中科大2010).填空：二次曲线x2?4xy?y2?10x?10y?21?0的类型是： 通过转轴去掉交叉项的转角角度是 （只需要填写一个角度即可）.
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