第2课时 导数与方程
题型一 求函数零点个数
1
例1 设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，
2当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数． 解 令F(x)＝f(x)－g(x)
1
＝－x2＋(m＋1)x－mln x，x>0，
2问题等价于求函数F(x)的零点个数． ?x－1??x－m?
F′(x)＝－，
x
当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数， 3
注意到F(1)＝>0，F(4)＝－ln 4<0，
2所以F(x)有唯一零点．
当m>1时，若0
所以函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增， 1
注意到F(1)＝m＋>0，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，
2所以F(x)有唯一零点．
综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．
思维升华 (1)可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题．
(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况． m
跟踪训练1 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.
x
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； x
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－的零点的个数．
3e
解 (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，
xx－e
则f′(x)＝2(x>0)，由f′(x)＝0，得x＝e.
x
∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， e
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
e∴f(x)的极小值为2.
x1mx
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－2－(x>0)，
3xx31
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．
31
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
3
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点， 2
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
3
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知
2
①当m>时，函数g(x)无零点；
3
2
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
32
③当0 3④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 2 综上所述，当m>时，函数g(x)无零点； 3 2 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 32 当0 3 题型二 根据函数零点情况求参数范围 1? 例2 (2018·抚顺模拟)已知函数f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R)．若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在??e，e? 上有两个零点，求实数m的取值范围． 解 g(x)＝2ln x－x2＋m， －2?x＋1??x－1?2 则g′(x)＝－2x＝. xx 1? 因为x∈??e，e?，所以当g′(x)＝0时，x＝1. 1 当≤x<1时，g′(x)>0；当1 解得1 思维升华 函数的零点个数可转化为函数图象的交点个数，确定参数范围时要根据函数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想． 跟踪训练2 已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间 ?1，e?上有两个不等实根，求实数a的取值范围． ?e? 解 由g(x)＝2f(x)， 3 可得2xln x＝－x2＋ax－3，a＝x＋2ln x＋， x3 设h(x)＝x＋2ln x＋(x>0)， x 23?x＋3??x－1? 所以h′(x)＝1＋－2＝. xxx2 1? 所以x在??e，e?上变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下： x h′(x) ?1，1? ?e?－ 1 0 (1，e) ＋