第十二章 静电场
1、一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆
y R O －Q 心O处的电场强度． + Q 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷 dq = ?dl = 2Qd? / ? 它在O处产生场强
dE?dqQ?d? 2分 4??0R22?2?0R2dEx?dEsin??dEy??dEcos???Q2??0R22x 按?角变化，将dE分解成二个分量：
Q2??0R22
sin?d?
cos?d? 3分
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
???/2? Ex?22??sin?d???sin?d??＝0 2分
2??0R?0?/2?Q?/2???Q?Q Ey?22??cos?d???cos?d????22 2分
2??0R?0??0R?/2?????Q?所以 E?Exi?Eyj?22j 1分
??0R2、如图所示，一电荷面密度为?的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．
解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为
E=? / (2?0) 2分
以图中O点为圆心，取半径为r→r＋dr的环形面积，其电量为
dq = ?2?rdr 2分
它在距离平面为a的一点处产生的场强 dE??ardr2?0a?r?223/2? 2dr 分
O 则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 r
?a E?2?0??a0Rrdr2?r2?3/2? ?2?0?a?1??a2?R2??? 题 意 E = ? 由,令/ ??(4?0)，得到R＝3a 2
3、图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的
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大小．
球形电容器的电容 C? q?CU?4??ab 3 分 当内外导 b?a a O 体间电势差为U时，电容器内外球壳上带电荷 b 4??abU b?a ?qbU电容器内球表面处场强大小为 E?? 3 分 ??4??a2a?b?a?欲求内球表面的最小场强，令dE/da=0，则
??dE11??0 ?bU??22?daa?b?a???a?b?a???0 2分
a?b/2d2Eb得到 a? 并有
da22可知这时有最小电场强度 Emin?
bU4U