第十二章 静电场
1、一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆
y R O －Q 心O处的电场强度． + Q 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?处取微小电荷 dq = ?dl = 2Qd? / ? 它在O处产生场强
dE?dqQ?d? 2分 4??0R22?2?0R2dEx?dEsin??dEy??dEcos???Q2??0R22x 按?角变化，将dE分解成二个分量：
Q2??0R22
sin?d?
cos?d? 3分
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
???/2? Ex?22??sin?d???sin?d??＝0 2分
2??0R?0?/2?Q?/2???Q?Q Ey?22??cos?d???cos?d????22 2分
2??0R?0??0R?/2?????Q?所以 E?Exi?Eyj?22j 1分
??0R2、如图所示，一电荷面密度为?的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．
解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为
E=? / (2?0) 2分
以图中O点为圆心，取半径为r→r＋dr的环形面积，其电量为
dq = ?2?rdr 2分
它在距离平面为a的一点处产生的场强 dE??ardr2?0a?r?223/2? 2dr 分
O 则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 r
?a E?2?0??a0Rrdr2?r2?3/2? ?2?0?a?1??a2?R2??? 题 意 E = ? 由,令/ ??(4?0)，得到R＝3a 2
3、图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的
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大小．
球形电容器的电容 C? q?CU?4??ab 3 分 当内外导 b?a a O 体间电势差为U时，电容器内外球壳上带电荷 b 4??abU b?a ?qbU电容器内球表面处场强大小为 E?? 3 分 ??4??a2a?b?a?欲求内球表面的最小场强，令dE/da=0，则
??dE11??0 ?bU??22?daa?b?a???a?b?a???0 2分
a?b/2d2Eb得到 a? 并有
da22可知这时有最小电场强度 Emin?
bU4U 2分 ?a?b?a?b4、一球体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径
为r的一个小球体,球心为O?,两球心间距离OO??d,如图所示. 求:
?(1) 在球形空腔内,球心O?处的电场强度E0.
?(2) 在球体内P点处的电场强度E.设O?、O、P 三点在同一直径上，且OP?d.
解：挖去电荷体密度为??的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场? ? E1，而另在挖去处放上电荷体密 O r P ?P E=0 2O’E度为－?的同样大小的球体，求出电场-? 2，并令E1O’ E2P E1P O 任意点的场强为此二者的叠加，即可得
???图(b) E0?E1?E2 2分
图(a) 在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面
? 为高斯面S，则可求出O?与P处场强的大小. ? O d E1P P EO’=E1 O’ EP E2P 图(c)
图(d) ??14?32E?dS?E?4?d??d?1?S1?03有 E1O’＝E1P=E1??d 3?0方向分别如图所示. 3分
在图(b)中，以O?点为小球体的球心，可知在O?点E2=0. 又以O? 为心，2d为半径作
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球面为高斯面S? 可求得P点场强E2P
?S???E2?dS??E2?4?(2d)2?4?r3(??)/?3?0?
E2P?(1) 求O?点的场强EO' . 由图(a)、(b)可得
?d EO’ = E1O’ =， 方向如图(c)所示. 2分
3?0?(2)求P点的场强EP.由图(a)、(b)可得
?r3?? 3分 12?0d2 EP?E1P?E2P??3?0?r3???d?4d2?? 方向如(d)图所示. 2分 ?? 第十三章 电势
1、一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为?．如图所示，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电势为零)．
RO?解：将题中的电荷分布看作为面密度为?的大平面和面密度为－?的圆盘叠
加的
结果．选x轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为
?σx?i 2分 E1?2?0x圆盘在该处的场强为
???σx?1 P?1??i ?x2?0?OR2?x2??x????σxi 4分 ∴ E?E1?E2? 222?0R?x0?xdx??R?R2?x2 4分 该点电势为 U??x2?0R2?x22?0 E2????2、图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为?，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势．
解：r处的电势等于以r为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势U1和球面以外的电荷产生的电势U2之和，即 U= U1 + U2 ，其中
?2R13???r? U1=qi / (4??0r) 4分 ??r?4??0r? 为计算以r为半径的球面外电荷产生的电势．在球面外取r?─→r?＋dr?的薄层．其
?4?/3??r3?R13???- 3 -
??3?0
电荷为 dq=?24?r?2dr? 它对该薄层内任一点产生的电势为
dU2?dq/?4??0r????r?dr?/?0
R2R1 O r ??2?则 U2??dU2??rr?dr??R2?r2? R 2 ?02?04分
于是全部电荷在半径为r处产生的电势为
?U?U1?U2?3?0 ?2R13??22????r??R?r 2??r?2?0?2R13???22??3R2?r? ? 2分 ?6?0?r??若根据电势定义直接计算同样给分．
3、在强度的大小为E，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示)．槽的质量为M，一质量为m带有电荷＋q的小球从槽的顶点A处由静止释放．如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场力，求： (1) 小球由顶点A滑至半球最低点Ｂ时相对地面的速度； (2) 小球通过B点时，槽相对地面的速度；
(3) 小球通过B点后，能不能再上升到右端最高点C？
?E ?E A m,q C 解：设小球滑到B点时相对地的速度为v，槽相对地的速度
M 为V．小球从A→B过程中球、槽组成的系统水平方向动量守B 恒，
mv＋MV＝0 ① 2分
对该系统，由动能定理 mgR－EqR＝mv2＋MV2 ② 3分 ①、②两式联立解出 v?11222MR?mg?qE? 2分 m?M?m?mv2mR?mg?qE??? 1分 MM?M?m?方向水平向右．
V??方向水平向左． 1分
小球通过B点后，可以到达C点． 1分
4、两个同心的导体球壳，半径分别为R1＝0.145 m和R2＝0.207 m，内球壳上带有负电荷q＝-6.0310-8 C．一电子以初速度为零自内球壳逸出．设两球壳之间的区域是真空，试计算电子撞到外球壳上时的速率．(电子电荷ｅ＝-1.6310-19 C，电子质量me＝9.1310-31 kg，?0＝8.85310-12 C2 / N2m2）
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