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与此直线电流近似重合．试求
（1）半圆弧AaB所受作用 力的大小和方向； （2）整个圆形电流所受的作用力的大小和方向。
分析和解：（1）半圆电流所受磁力见图11一3 ( b) ，在AaB弧上的C点取一电流元I?l，其所在处的磁感强度方向垂直纸面向里，大小为
B??0I02?X??0I02?Rsin?
?0II02?Rsin??l，方向沿径向。
则电流元I?l上所受到的安培力为?f?IB?l?现将?f分解到x轴和y轴
?fx??fsin???0II02?R?l，?fy??fcos???0II02?Rtan??l
考虑到对称性，??fy?0
f?fx???fx???0II02?R?l??0II02?R??R??0II02，方向沿x轴正方向。
（2）由于左半圆AbB的电流与右半圆AaB的电流等值反向且与I0对称，所处空间的磁感
应强度也是对称反向的，故两半圆所受安培力等值同向，都沿x轴正向，那么
f?fAaB?fAbB??0II0
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类型三、利用圆电流近似处理为无限长载流直线的方法处理对称圆形电流间的相互作用的问
题。
例4．（1）图11一4所示是两根相同的导线环A与B。中心都在z轴上，两导线环分别位于
平面z??h。为了使两环互相排斥，它们通的电流方向应是相同还是相反？（2）一个通以电流的导线圆环能在不用任何器械的情况下漂浮在水平的超导平面之上。假设A就是这样一个均匀圆环，它的质量为M，且它的半径r远大于它和超导平面的距离h，平面z=0就是超导平面．证明达到平衡时的高度，即导线环A离超导平面的距离h0?如果飘浮的环在垂直方向上振动，求振动的周期。 分析和解：（1）因为r>>h，所以可将两导 线环看作两根长的平行导线，要它们相互 排斥，电流方向必须相反。
（2）因超导体内磁感应强度为零，为抵消
A产生的磁力线穿过超导面，即在超导面下， 与A对称处有线圈B，其中电流大小与A中 相同，而方向相反。A与超导面的作用相同 于A、B两线圈的作用，把两环看作两根长的 平行导线，因而A所受的磁场力为 Fm?IlB?I?2?r??0rI22Mg。（3）
?0I2??2h??0Ir2h2
?0Ir2h02当平衡时磁场力应等于重力Mg，所以Mg?，即h0??0rI22Mg。
（3）在平衡位置附近，可令h?h0??h，?h为一相对平衡位置的小位移，而合力等于重
力和磁场力的合成，即
F?Fm?Mg??0Ir2(h0??h)2?Mg??0Ir2h02(1??hh0)?Mg???0Ir2h022?h
振动的角频率为：???0Ir2h0M22?Mgh0M?gh0 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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振动周期为：T?2???2?h0g 类型四、带电粒子在感生电场作用和变化的磁场作用下做加速圆周运动的问题。
例5．一个长的螺线管包含了另一个同轴的螺线管（它的半径R是外面螺线管的一半）。它们
的线圈单位长度具有相同的圈数，且初始时都没有电流。在同一瞬间，电流开始在两个螺线管中线性增长。在任意时刻，里边的螺线管中的电流为外 边螺线管中的两倍，它们的方向相同。由于增长的电流，一个 初始静止的处于两个螺线管中间的带电粒子，开始沿着一根圆 形的轨道运动（见图11一5）。问圆的半径r为多少？ 分析和解：在t时刻外边螺线管中的电流为I?kt，在里 边的螺线管中的电流为2I?2kt，其中k是一个常数。由这些 电流产生的磁场在外边螺线管中为B??0nkt，而在里边螺线管
中为3B，其中n为单位长度上螺线管的圈数。由半径为r的粒子轨道所包围的磁通量为
???R?2B??r?B?（2R?r)??0nkt
2222感生电场的大小可以从磁场随时间的变化率计算得出：
E?2?r????t?(2R?r)??0nk，因此E?22(2R?r)?0nk2r22
带电粒子由磁场限制在它的圆形轨道上，因此，从作用在它上面的力的总的径向分量为零，我们可以得到
m?r2?q?B ①
根据公式mat?qE，粒子由合力的切向分量沿着它的圆形轨道加速，其中m是质量，q是粒子的电荷。
当电场力的大小恒定时，粒子的速度随时间均匀地增加，
??att?qEmt?q(2R?r)?0nk2mr22t
把上式和B的值代入方程①，我们得到
mq(2R?r)?0nk2mr222t?q?0nkt
满足上式的条件为
(2R?r)2r222?1，即r?2R
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类型五、运用“虚位移”方法和能量守恒解电磁感应和磁场能的有关的问题。
例6．如图11一6所示，悬挂着的弹簧下挂一重物，其长度L=1 m，直径D=0. 04 m，劲度系
数K=0.5 N/m，一共有700匝，如给弹簧通以I=2.5 A的电流，则重物平衡位置将作微小变化，试求此变化量。
分析和解：视弹簧为无限长螺线管，则内部磁感应强度为B??0（?0为真空中磁导率）
NlI
故磁通量为??NSB?22?0?ND4l22I?LI ①
故L??0?ND4l ②
设通电达稳定后，弹簧缩短x，长度变为l1，则自感系数为 L1??0?ND4l122??0?ND4(l?x)22 ③
当系统处于平衡状态时，假设重物受到一微扰，下降了
?l(?l?0)，考虑系统的功能情况。
机械势能的变化为?E1?12k(x??l)?212kx??kx?l??l??kx?l ④
22其间自感系数也有变化，由③式
?L??0?ND224(l1??l)??0?ND4l11222???0?ND4l122122?l ⑤
故磁场能量变化为?E2??(LI)?2I?L??2?0?NDI8l12222?l ⑥
同时，L的变化使弹簧两端有了电压，恒流电源将对系统做功，由电磁感应定律，有
U????t??(LI)?t?I?L?t
I?L?t22故恒流电源做功为W?UI?t??t??I?0?ND4l122222?l ⑦
由能量守恒，有W??E1??E2，??0?ND4l122I?l??kx?l??0?ND8l1222I?l
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