昆明理工大学试卷（历年试题）
考试科目： 概率统计B(48学时) 考试日期： 命题教师：
2013年概率统计试题
一、填空题（每小题4分，共40分）
1.设A,B,C为三个事件，则A,B,C中至少有两个发生可表示为 。
1112.已知p(A)?，p(A|B)?，p(B|A)?，则p(A?B)? 。
423113.设事件A,B互不相容，且p(A)?，p(B)?，则p(AB)= 。
234．进行独立重复实验，设每次成功的概率为p,失败的概率为1?p,将实验进行到出现一次成功为止，以X表示实验次数，则p(X?k)= 。
0)= 。5．已知随机变量X服从参数??2的泊松分布，即X?P(2)，则p(X? 6．已知随机变量X?N(?2,1)，Y?N(2,1)且X,Y相互独立，则2X?Y服从的分布是 。
7．若随机变量X满足E(X)??1,D(X)?2,则E(3X2?1)= 。
21?1?18．设X1,X2是来自于总体X的样本，?1?X1?X2，?2?X1?X2为总体均值?3322??的无偏估计，则?1,?2中较有效的是 。
9．设X1,X2?,Xn为来自总体N(?,?2)的一个样本，?2已知，则
?(Xi?1ni?X)22?服从的分布是 ，
?(Xi?1ni??)22?服从的分布是 。
10．设X1,X2?,Xn为来自总体N(?,?2)的一个样本，?2未知，则?的1??的置信区间是为 。
一、 填空题（每小题4分，共40分）
111．AB?BC?AC 2. 3. 4. p(X?k)=(1?p)k?1p k?1,2,?
32?5. e?2 6.N(?6,5) 7. 8 8. ?2 9. ?2(n?1),?2(n)
10. (x_sst?2(n?1),x?t?2(n?1)) nn二、(10分)某保险公司把被保险人分为三类：谨慎的、一般的、冒失的，统计资料表
明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30。如果谨慎的占总的被保人数的20%，一般的占50%，冒失的占30%，(1)求某被保人在一年内发生事故的概率；(2)若此人在一年内发生事故，则他是谨慎的客户的概率是多少。 解. 设事件B为 “被保险人在一年内出了事故” 这一事件；事件A1,A2,A3分别为“谨慎的、一般的、冒失的被保险人”，则根据全概率公式可得：
P(B)?p(B|A1)p(A1)?p(B|A2)p(A2)?p(B|A3)p(A3) 3分 =0.2×0.05+0.5×0.15+0.3×0.3=0.175 5分
P(A1|B)? =
p(B|A1)p(A1) 8分
p(B|A1)p(A1)?p(B|A2)p(A2)?p(B|A3)p(A3)0.05?0.2?0.0571 10分
0.175三、(10分)已知连续型随机变量X有分布函数：
F(x)?A?Barctanx,???x??，试求
(1)系数A,B；，(2) 求概率密度f(x)；(3) X在区间(a,b)内取值的概率。
??A?B?0??F(??)?0?2解.(1) ? ?
??F(?)?1?A?B?1??2(2) f(x)?dF(x)1?dx?(1?x2)1?A???2 3分 ?1?B????(???x??) 6分
(3) p(a?x?b)?F(b)?F(a) 8分 ? ?
1111?arctanb?(?arctana) 2?2?arctabn?aractan 10分
?
??2xe?xF(x)??四、(10分)已知连续型随机变量X的概率密度函数为：
??0求Y?X2的概率密度。 解. 显然当y?0,2x?0 x?0fY(y)?0
当y?0, FY(y)?P(Y?y) 3分 =P(X2?y)
=P(?y?X?y) =P(0?X?y) =?y02xe?xdx 7分
2fY(y)?FY'(y) =2ye?y?12y?e?yy?0 10分 y?0y?0?e?y所以： fY(y)???0
五、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下，求
(1)a，(2) 二维随机变量(X,Y)的 边缘分布律 (3) X,Y是否独立 (4) E(X)，D(X)。
Y X 1 2 0 0.15 0.15 1 a 0.35
解. (1)有概率的规范性可知，0.15?0.15?0.35?a?1
所以有：a?0.35 2分 (2)
X 1 2 Y 0 1
p 0.5 0.5 p 0.3 0.7
5分
(3) 因为 X Y 满足：
p(X?xi,Y?yj)?p(X?xi)p(Y?yj)，i?1,2
j?0,1
所以X,Y独立。 7分
(4) E(X)?1?0.5?2?0.5?1.5
22 E(X2)?1?0.?5?2?0.5 2.5 D(X)?E(X2)?E2(X)?2.5?1.52?0.25 10分
六、（10分）一工厂生产某种元件的寿命X（以小时计）服从参 数为??160,?的正态分布。
(1)若要求P?120?X?200??0.80，允许?最大为多少？ (2)若??20, P?120?X?200???(Ф?1.28??0.9,Ф?2??0.977)
120?160X?160200?160??} 解. (1)P{120 40?31.25； 5分 ?1.28120?160X?160200?160??} (2)当σ=20时，P{120 20 )??(1.28) 亦 ?? 七、(10分)设X1,X2?,Xn为来自于总体 X的一个样本, 总体 X的密度函数为 x|1?|?f(x)?e,2?40???x??，求参数?的极大似然估计??。 解 L(?)??f(xi,?) 2分 i?1nn??i?11e2??|xi|??1????e?2??n???ii?1n|x|??0 5分 lnL(?)??nln2??|x| 7分 ??ii?11n