?S（2）由上式可知，在t-t+dt时间内，E2能级自发辐射的光子数为：
t P21(t)1??dn21?h?dt?n2(t)VA21dt?n2(0)VP21(t)?n2(t)VA21h??n2(0)V1h?e?t??Sedt
则在0-∞的时间内，E2能级自发辐射的光子总数为：
n21??dn21???0?P21(t)1dt??n2(t)VA21dt?n2(0)V0h??S??0?edt?n2(0)V?S?t?
（3）自发辐射光子数与初始时刻能级上的粒子数之比为:
?2?n21??n2(0)V?S
此题有待确认
7 根据激光原理4.4节所列红宝石的跃迁几率数据，估算抽运几率W13等于多少时红宝石对波长694.3纳米的光透是明的（对红宝石，激光上、下能级的统计权重为f1?f2?4，且计算中可不考虑光的各种损耗）
解答：已知红宝石的S32?0.5?107S?1，A31?3?105S?1，A21?0.3?103S?1，S21?0，S31?0
分析如下：增益介质对某一频率的光透明，说明介质对外界光场的吸收和增益相等，或者吸收极其微弱，以至于对进入的光场强度不会产生损耗。对于本题中的红宝石激光器，透明的含义应该属于前者。
根据公式：
dn3??n1W13?n3?A31?S32??dt?dn2?n1W12?n2W21?n2?A21?S21??n3S32??（激光原理dt?n1?n2?n3?n??B12f1?B21f2?B12?B21?P146-4.4.22）
由上边的第二项和第四项，可以得到：
dn2?n1W12?n2W21?n2?A21?S21??n3S32?dt?B21??n1?n2??n2?A21?S21??n3S32
--------------------------------------1
又因为小信号下（粒子数翻转刚刚达到阈值）S32??A21，因此
n3?0，且
dn3?0 dtn1W13由此，方程组的第一个式子可以转变为：n3?，代入
A31?S321式，得到：
nWSdn2?B21??n1?n2??n2?A21?S21??n3S32??B21??n1?n2??n2?A21?S21??11332dtA31?S32
既然对入射光场是透明的，所以上式中激光能级发射和吸收相抵，即激光上能级的粒子数密度变化应该与光场无关，并且小信号时激光上能级的粒子数密度变化率为零，得到
nWSnWSdn2??B21??n1?n2??n2?A21?S21??11332??n2?A21?S21??11332?0?dtA31?S32A31?S32?
?B21??n1?n2??0?n1?n2?最后得到：
?A31?2?1?W13?A21?1??3.18?10S ?S?32??解答完毕。（验证过）
11 短波长（真空紫外、软X射线）谱线的主要加宽是自然加宽。
?2试证明峰值吸收截面为??0。
2?证明：根据P144页吸收截面公式4.4.14可知，在两个能级的统计权重f1=f2的条件下，在自然加宽的情况下，中心频率ν0处吸收截面可表示为：
A21v21?12?224??0??N - （P133页公式4.3.9）
A21和ΔνN的表达式代入1式，得到：
-------------------------------------------------1 上式??N2??s1又因为A21?，把
?1?s?2?21?0
2?证毕。（验证过）
12 已知红宝石的密度为3.98g/cm3，其中Cr2O3所占比例为0.05%（质量比），在波长为694.3nm附近的峰值吸收系数为0.4cm-1，试求其峰值吸收截面（T=300K）。