?S（2）由上式可知，在t-t+dt时间内，E2能级自发辐射的光子数为：
t P21(t)1??dn21?h?dt?n2(t)VA21dt?n2(0)VP21(t)?n2(t)VA21h??n2(0)V1h?e?t??Sedt
则在0-∞的时间内，E2能级自发辐射的光子总数为：
n21??dn21???0?P21(t)1dt??n2(t)VA21dt?n2(0)V0h??S??0?edt?n2(0)V?S?t?
（3）自发辐射光子数与初始时刻能级上的粒子数之比为:
?2?n21??n2(0)V?S
此题有待确认
7 根据激光原理4.4节所列红宝石的跃迁几率数据，估算抽运几率W13等于多少时红宝石对波长694.3纳米的光透是明的（对红宝石，激光上、下能级的统计权重为f1?f2?4，且计算中可不考虑光的各种损耗）
解答：已知红宝石的S32?0.5?107S?1，A31?3?105S?1，A21?0.3?103S?1，S21?0，S31?0
分析如下：增益介质对某一频率的光透明，说明介质对外界光场的吸收和增益相等，或者吸收极其微弱，以至于对进入的光场强度不会产生损耗。对于本题中的红宝石激光器，透明的含义应该属于前者。
根据公式：
dn3??n1W13?n3?A31?S32??dt?dn2?n1W12?n2W21?n2?A21?S21??n3S32??（激光原理dt?n1?n2?n3?n??B12f1?B21f2?B12?B21?P146-4.4.22）
由上边的第二项和第四项，可以得到：
dn2?n1W12?n2W21?n2?A21?S21??n3S32?dt?B21??n1?n2??n2?A21?S21??n3S32
--------------------------------------1
又因为小信号下（粒子数翻转刚刚达到阈值）S32??A21，因此
n3?0，且
dn3?0 dtn1W13由此，方程组的第一个式子可以转变为：n3?，代入
A31?S321式，得到：
nWSdn2?B21??n1?n2??n2?A21?S21??n3S32??B21??n1?n2??n2?A21?S21??11332dtA31?S32
既然对入射光场是透明的，所以上式中激光能级发射和吸收相抵，即激光上能级的粒子数密度变化应该与光场无关，并且小信号时激光上能级的粒子数密度变化率为零，得到
nWSnWSdn2??B21??n1?n2??n2?A21?S21??11332??n2?A21?S21??11332?0?dtA31?S32A31?S32?
?B21??n1?n2??0?n1?n2?最后得到：
?A31?2?1?W13?A21?1??3.18?10S ?S?32??解答完毕。（验证过）
11 短波长（真空紫外、软X射线）谱线的主要加宽是自然加宽。
?2试证明峰值吸收截面为??0。
2?证明：根据P144页吸收截面公式4.4.14可知，在两个能级的统计权重f1=f2的条件下，在自然加宽的情况下，中心频率ν0处吸收截面可表示为：
A21v21?12?224??0??N - （P133页公式4.3.9）
A21和ΔνN的表达式代入1式，得到：
-------------------------------------------------1 上式??N2??s1又因为A21?，把
?1?s?2?21?0
2?证毕。（验证过）
12 已知红宝石的密度为3.98g/cm3，其中Cr2O3所占比例为0.05%（质量比），在波长为694.3nm附近的峰值吸收系数为0.4cm-1，试求其峰值吸收截面（T=300K）。 解：
分析：红宝石激光器的Cr3+是工作物质，因此，所求峰值吸收截面就是求Cr3+的吸收截面。 根据题中所给资料可知：
Cr2O3的质量密度为3.98g/cm3×0.05%=1.99×10-3g/cm3,摩尔质量为52×2+16×3=152g/mol
设Cr3+的粒子数密度为n，则n=2×（1.99×10-3 /152）×6.02×1023=1.576×1019/cm3 根据???12?n可知，?12根据
???n
n=n1-n2,且
?n2?eKTn1h?n≈n1+n2，Δ
?34，其中
3?1086.62?10??9h?694.3?10??69，可知E2能级粒子数密度接近于零，?23KT1.38?10?300可求出Δn=n1=1.756×1019/cm3 ，代入到?12?120.4/cm?1?202???2.55?10cm ?n1.576?1019/cm3???n，可求出：
?解答完毕。 13 略
14 在均匀加宽工作物质中，频率为ν1、强度为Iν1的强光增益系数为gH(ν1,Iν1), gH(ν1,Iν1)--- ν1关系曲线称为大信号增益曲线，试求大信号增益曲线的宽度ΔνH。 解：
大信号增益系数表达式为P153-4.5.17：
??H2)02gH(?1,I?1)?gH(?0) I???(?1??0)2?(H)2[1?1]2IS(根据谱线宽度的定义：增益下降到增益最大值的一半时，所对应
的频率宽度，叫做大信号增益线宽。
根据大信号增益曲线表达式可知，其中心频率处具有最大增益，即ν1=ν0时。在此条件下，增益最大值为：
0gHmax(?0,I?1)?gH(?0)1 I?[1?1]IS根据gH(?1,I?1)?I???H11?1gHmax(?0,I?1)，可求出当?1??0?2IS2I?1IS时满足
增益线宽条件，因此，线宽位：
???2?1??0???H1?
解答完毕。
15 有频率为ν1、ν2的两强光入射，试求在均匀加宽情况下： (1) 频率为ν的弱光的增益系数。 (2) 频率为ν1的强光增益系数表达式。
(设频率为ν1和ν2的光在介质里的平均光强为Iν1、Iν2) 解：在腔内多模振荡条件下，P151-4.5.7应修正为：
?n?1??n0I?1IS(?1)?I?2IS(?2)????n01??iI?iIS(?i)
根据P150-4.5.5可知，增益系数与反转粒子数成正比，即： g??n?21??,?0?
把修正后的反转粒子数表达式代入上式，得到：
g??n?21??,?0???21??,?0??n01??iI?iIS(?i)
因此，所求第一问“频率为ν的弱光的增益系数”为：
gH(?,I?1,I?2)??n?21(?,?0)?1?0gH(?)I?1IS(?1)?I?2IS(?2)
第二问“频率为ν1的强光增益系数表达式”为：
gH(?1,I?1,I?2)??n?21(?1,?0)?1?0gH(?1)I?1IS(?1)?I?2IS(?2)
解答完毕。
17 激光上下能级的粒子数密度速率方程表达式为P147-4.4.28所示。