历年山东省聊城市中考数学试卷(含答案)

长线相交于点P.

(1)求证:PD是⊙O的切线; (2)求证:△PBD∽△DCA;

(3)当AB=6,AC=8时,求线段PB的长.

【分析】(1)由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角,再由AD为角平分线,得到一对角相等,根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角,与平行线中的一条垂直,与另一条也垂直得到OD与PD垂直,即可得证;

(2)由PD与BC平行,得到一对同位角相等,再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD,根据同角的补角相等得到一对角相等,利用两对角相等的三角形相似即可得证;

(3)由三角形ABC为直角三角形,利用勾股定理求出BC的长,再由OD垂直平分BC,得到DB=DC,根据(2)的相似,得比例,求出所求即可. 【解答】(1)证明:∵圆心O在BC上, ∴BC是圆O的直径, ∴∠BAC=90°, 连接OD,

∵AD平分∠BAC, ∴∠BAC=2∠DAC, ∵∠DOC=2∠DAC,

∴∠DOC=∠BAC=90°,即OD⊥BC, ∵PD∥BC, ∴OD⊥PD,

∵OD为圆O的半径, ∴PD是圆O的切线;

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(2)证明:∵PD∥BC, ∴∠P=∠ABC, ∵∠ABC=∠ADC, ∴∠P=∠ADC,

∵∠PBD+∠ABD=180°,∠ACD+∠ABD=180°, ∴∠PBD=∠ACD, ∴△PBD∽△DCA;

(3)解:∵△ABC为直角三角形, ∴BC2=AB2+AC2=62+82=100, ∴BC=10,

∵OD垂直平分BC, ∴DB=DC,

∵BC为圆O的直径, ∴∠BDC=90°,

在Rt△DBC中,DB2+DC2=BC2,即2DC2=BC2=100, ∴DC=DB=5

∵△PBD∽△DCA, ∴

=

=

=

则PB=

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,切线的判定与性质,熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键.

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25.(12分)(2017?聊城)如图,已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点B(6,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. (1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标;

(2)当点P移动到抛物线的什么位置时,使得∠PAB=75°,求出此时点P的坐标; (3)当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动,在移动中,点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动,与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动,点P,M移动到各自终点时停止,当两个动点移动t秒时,求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式,并求t为何值时,S有最大值,最大值是多少?

【分析】(1)由A、B坐标,利用待定系数法可求得抛物线的表达式,化为顶点式可求得顶点坐标;

(2)过P作PC⊥y轴于点C,由条件可求得∠PAC=60°,可设AC=m,在Rt△PAC中,可表示出PC的长,从而可用m表示出P点坐标,代入抛物线解析式可求得m的值,即可求得P点坐标;

(3)用t可表示出P、M的坐标,过P作PE⊥x轴于点E,交AB于点F,则可表示出F的坐标,从而可用t表示出PF的长,从而可表示出△PAB的面积,利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB,可得到S关于t的二次函数,利用二次函数的性质可求得其最大值. 【解答】解:

(1)根据题意,把A(0,6),B(6,0)代入抛物线解析式可得解得

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∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+6, ∵y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8, ∴抛物线的顶点坐标为(2,8);

(2)如图1,过P作PC⊥y轴于点C,

∵OA=OB=6, ∴∠OAB=45°,

∴当∠PAB=75°时,∠PAC=60°, ∴tan∠PAC=

,即

=m,

设AC=m,则PC=∴P(

m,6+m),

m)2+2

m+6,解得m=0或

把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=﹣(m=

﹣,

经检验,P(0,6)与点A重合,不合题意,舍去, ∴所求的P点坐标为(4﹣

,+);

(3)当两个动点移动t秒时,则P(t,﹣t2+2t+6),M(0,6﹣t),

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