8．C 9．C 10．D 11．D 12．B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
3?113．2
y?14．515．5
11x?1y??x?122或
16．3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1) a?1,b?0 ;函数f?x?的单调递减区间为?0,?，单调递增区间为?,???;(2)详见解析. 【解析】 【详解】
试题分析：（1）由题得f??x??a?1?lnx?，根据曲线f?x?在点1,f?1?处的切线方程，列出方程组，求得a,b的值，得到f?x?的解析式，即可求解函数的单调区间；
??1?e??1?e????x2-x1x21?ln?0， （2）由（1）得 g?x??lnx?根据由g?x1??g?x2?，整理得
x1x2x1xx2?t(t?1)，转化为函数u(t)?t?1?2lnt的最值，即可作出证明. 设x1t试题解析：
（1）由题得，函数f?x?的定义域为?0,???， n?n?x??a?1?lnx?，
因为曲线f?x?在点1,f?1?处的切线方程为y?x?1，
n??n??1??a?1，所以?解得a?1,b?0.
f1?aln1?b?0，??????令n?n?x??1?lnx?0，得x?1，
e1?1??hx?0fx0?x?当时， ??， ??在区间?0,?内单调递减；
e?e?当x?1?1?时， h??x??0， f?x?在区间?,???内单调递增. e?e???1?e?所以函数f?x?的单调递减区间为?0,?，单调递增区间为?,???.
?1?e??（2）由（1）得， g?x??f?x??1x?lnx?1. x由g?x1??g?x2?(x1?x2)，得lnx1?x2-x1x211?lnx2??ln?0. ，即x1x2x1x2x1要证
，需证?x1?x2?x2-x1xxxx?2ln2，即证2?1?2ln2， x1x2x1x1x2x1设
x2xxx?t(t?1)，则要证2?1?2ln2，等价于证： t?1?2lnt(t?1). x1x1x2x1t2112?1?令u(t)?t??2lnt，则u'?t??1?2???1???0，
ttt?t?∴u?t?在区间?1,???内单调递增， u?t??u?1??0,
1t??2lntx?x2?2t即，故1.
18． (1) x2?(y?1)2?(2?1)2或x2?(y?1)2?(2?1)2(2) 22 【解析】 【分析】
（1）利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得到等式，求出t的值； （2）把曲线C1的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得到一个一元二次方程，设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，利用一元二次方程根与系数关系，
11?求出的表达式，求出最大值。 APAQ【详解】
解：（1）Q??2cos?，?曲线C2的直角坐标方程为??x?1??y2?1，
2?x?tcos?2Q?是曲线C1:?的参数，?C1的普通方程为x2??y?1??t2，
?y?1?tsin?QC1与C2有且只有一个公共点，?t?2?1或t?2?1，
?C1的普通方程为x2??y?1?2??2?1或x2??y?1???22?2?1
?2?x?tcos?（2）Qt是曲线C1:?的参数，?C1是过点A?0,1?的一条直线，
y?1?tsin???x?tcos?2ttQ设与点P，相对应的参数分别是1，2，把?，代入?x?1??y2?1得
?y?1?tsin?????t?t??22sin??,?12??2t?2?sin??cos??t?1?0，??4? ??t1·t2?1,??1111?????? ?t1?t2?t1?t2 ?22sin?????22，
APAQt1t24??3?2时，??4?sin??cos???4?4?0， 4当??11?取最大值22. APAQ【点睛】
本题考查了参数方程化为变通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，利用参数的意义求最值问题。
n19．（Ⅰ）a2?3,a3?7,a4?15;an?2?1.（Ⅱ）见解析.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）点?an,an?1?n?N?*?在直线y?2x?1上得出an与an?1的递推关系，从而得出a2，a3，a4的值，
再由特殊到一般，猜想出一般性结果； （Ⅱ）根据数学归纳法原理证明（Ⅰ）的猜想。 【详解】
解：（Ⅰ）因为点?an,an?1?n?N所以an?1?2an?1， 因为a1?1，
故a2?2?1?1?3，
?*?在直线y?2x?1上
a3?2?3?1?7， a4?2?7?1?15，
n由上述结果，猜想：an?2?1.
（Ⅱ）1?，当n?1时，a1?2?1?1成立，
k2?，假设当n?k?k?1,k?N?时，ak?2?1成立，
那么，当n?k?1时，ak?1?2ak?1?22?1?1?2n由1?，2?可得an?2?1.
?k?k?1?1成立，
【点睛】
本题考查了数列知识与数学归纳法的应用，解题的关键是正确使用数学归纳法的解题步骤。 20． (1) 极小值为2a(1?ln2a) (2) (0,??) 【解析】 【分析】
??（1）先求出f(x)，再利用导数求f(x)的极值；（2）先求出g(x)?xe?2ax?xe?2a,再对a分a
?x?x?＞0，a=0，a＜0三种情况，根据函数g(x)有两个零点求出a的取值范围. 【详解】
解：（1）f(x)?e?2ax,?xf??(x)?ex?2a
①若a?0，显然f??(x)?0所以f?(x)在R上递增，所以f?(x)没有极值. ②若a?0，则f??(x)?0?x?ln2a,?f??(x)?0?x?ln2a，
所以f(x)在(??,ln2a)上是减函数，在(ln2a,??)上是增函数。
?所以f(x)在x?ln2a处取极小值，极小值为f?(ln2a)?2a(1?ln2a)
xx2（2）g(x)?xe?f(x)?(x?1)e?ax.函数g(x)的定义域为R，
且g(x)?xe?2ax?xe?2a. ①若a?0，则g?(x)?0?x?0;?x?x?g?(x)?0?x?0.
所以g(x)在(??,0)上是减函数，在(0,??)上是增函数。 所以g(x)min?g(0)??1.
x?x令h(x)?(x?1)e，则h(x)?xe.
显然h(x)?0?x?0，所以h(x)?(x?1)e在(??,0)上是减函数. 又函数y?ax在(??,0)上是减函数，取实数?2?x1?0， a?1??1?则g???h(0)?a???????1?1?0
a?a???又g(0)??1?0,2g(1)?a?0,g(x)在(??,0)上是减函数，在(0,??)上是增函数。