xy3
3、椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,过F1且垂直于x
ab2轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设11
直线PF1,PF2的斜率分别为k1、k2.若k≠0,试证明+为定值,并求出这个定值.
kk1kk2
xyb
解析:(1)由于c=a-b,将x=-c代入椭圆方程2+2=1,得y=±.
aba
2
2
2
2
2
2
22
2bc32
由题意知=1,即a=2b. 又e==,所以a=2,b=1.
aa2x2
所以椭圆C的方程为+y=1.
4
(2)设P(x0,y0)(y0≠0),又F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF1,PF2的方程分别为lPF1:y0x-(x0+3)y+3y0=0, lPF2:y0x-(x0-3)y-3y0=0. 由题意知|my0+3y0|y+(x0+3)
20
2
2
=2
|my0-3y0|y+(x0-3)
所以
2
0
2
. |m+3|
|m-3|
x02
由于点P在椭圆上,所以+y0=1.
4
2
[来源:学科网ZXXK]?3??x0+2??2?
3-m
=2
?3?
?x0-2??2?
2
.
因为-3 m+3 333 ,所以m=x0.因此- 42233 x0+22-x022 = (3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0). x??+y2=1, 联立得?4 ??y-y0=k(x-x0), 整理得(1+4k)x+8(ky0-kx0)x+4(y0-2kx0y0+kx0-1)=0. x02 由题意Δ=0,即(4-x)k+2x0y0k+1-y=0. 又+y0=1, 4 20 2 20 2 2 2 2 2 22 2 x0222 所以16y0k+8x0y0k+x0=0,故k=-.4y0 [来源:Zxxk.Com]11x0+3x0-32x0 由(2)知+=+=, k1k2y0y0y0 1111111?4y0?2x0 所以+=(+)=?-?·=-8,因此+为定值,这个定值为-8. kk1kk2kk1k2?x0?y0kk1kk2 x2y2 4、已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2,由四个点M(-a,b)、N(a, abb)、F2和F1组成了一个高为3,面积为33的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点F1的直线和椭圆交于两点A,B,求△F2AB面积的最大值. 解 (1)由条件,得b=3,且 2 2 2a+2c ×3=33, 2 x2y2 所以a+c=3.又a-c=3,解得a=2,c=1. 所以椭圆的方程+=1. 43(2)显然,直线的斜率不能为0,设直线方程为x=my-1,直线与椭圆交于 xy??4+3=1, A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程?消去x,得(3m2+4)y2-6my-9=0, 因 ??x=my-1,为直线过椭圆内的点,无论m为何值,直线和椭圆总相交. ∴y1+y2= 6m91 ,y1y2=-2.S△F2AB=|F1F2||y1-y2|=|y1-y2| 223m+43m+4 22 2 2 =?y1+y2?-4y1y2=12m2+1 =4 ?3m2+4?2m2+1 ?m+1+1?2 3?? =4 , 21 m+1++ 39?m2+1? 2 1 111 0,?时,函数单调递减,t∈?,+∞?函数单调递令t=m2+1≥1,设y=t+,易知t∈??3??3?9t增,所以当t=m2+1=1,即m=0时,ymin= 10 . S△F2AB取最大值3. 9 x2y23 5椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3. ab2 (1)求椭圆C的方程; (2)如图,A、B、D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m-k为定值. x2y2 6、 (2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:2+2=1(a>b>0)右焦点的 ab1 直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为. (1)求M的 2方程; (2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ABCD面积的最大值. x22 7、在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆+y=1有两个不 2同的交点P和Q. (1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常→→→ 数k,使得向量OP+OQ与AB垂直?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由. x2 解 (1)由已知条件,直线l的方程为y=kx+2,代入椭圆方程得+(kx+2)2=1,整理 212?2得??2+k?x+22kx+1=0.① 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中 12?222 +k=4k2-2>0,解得k<-或k>.即k的取值范围是?-∞,-?∪Δ=8k2-4??2?222??→→ ?2,+∞?. (2)设P(x,y),Q(x,y),则OP+OQ=(x+x,y+y) 由方程①得, 11221212 ?2?-42k242kx1+x2=-, y1+y2=k(x1+x2)+22=+22. 1+2k21+2k2→→→42k42k2 ∵(OP+OQ)⊥AB,∴(x1+x2)·(-2)+y1+y2=0,即:-·(-2)-+22=0. 1+2k21+2k2→→→221解得k=-,由(1)知k>,与此相矛盾,所以不存在常数k使OP+OQ与AB垂直. 42 x2y2 8、(2013·四川卷)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭 ab41? 圆C经过点P??3,3?. (1)求椭圆C的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且解 (1)由椭圆定义知2a=|PF1|+|PF2|= 211 ,求点Q的轨迹方程. 2=2+|AQ||AM||AN|2?4+1?2+?1?2+?3??3??4-1?2+?1?2=22. ?3??3? c12 所以a=2. 又由已知得,c=1,所以椭圆C的离心率e===. a22x22 (2)由(1)知,椭圆C的方程为+y=1. 设点Q的坐标为(x,y). 2 (i)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为 ?0,2-35?. (ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2. 5?? 因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则 222222 |AM|2=(1+k2)x1,|AN|2=(1+k2)x22. 又|AQ|=x+(y-2)=(1+k)x. 由 211 ,得 2=2+|AQ||AM||AN|22 211211?x1+x2?-2x1x2 =.① 222+2, 即2=2+2=xx1x2x1x2?1+k2?x2?1+k2?x1?1+k2?x2 x22 将y=kx+2代入+y=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.② 2 -8k36 由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>. 由②可知,x1+x2=2,x1x2=2, 22k+12k+1代入①中并化简,得x2= 18 .③ 10k2-3 y-2 因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18. x336635? 由③及k2>,可知0<x2<,即x∈?-,0?∪?0,?. 又?0,2-满足10(y-2)2 222?5??2???-3x2=18,故x∈?- ? 66? . , 22? 由题意知点Q(x,y)在椭圆C内,所以-1≤y≤1, 又由10(y-2)2=18+3x2有 99?135? ,,且-1≤y≤1,则y∈?,2-(y-2)2∈?. ?54?5??2所以点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈?- ? 66?135? ,y∈?,2-. ,22?5??2 x2y23 9、椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x ab2轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程; (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,?连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.?设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明11+为定值,?并求出这个定值. kk1kk2[审题] 一审条件?:可设P点坐标为(x0,y0),写出直线l的方程 二审条件?:联立方程组消去y得关于x的一元二次方程,则Δ=0 111?11 +,把k与+均用x0,y0表示后可消去. 三审结论?:变为?k?k1k2?k1k2 33x22 -,?(过程略). 解 (1)椭圆C的方程为+y=1(过程略).(2)m的取值范围是??22?4x??4+y2=1, (3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0).联立?整理得 ??y-y0=k?x-x0?, 2222 (1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y20-2kx0y0+kx0-1)=0.由题意,得Δ=0,即(4-x0)k+2x0y0k 2 +1-y20=0. x2x002222 又+y2. 0=1,所以16y0k+8x0y0k+x0=0, 即(4y0k+x0)=0.故k=-44y0 11x0+3x0-32x0由椭圆C可得F1(-3,0),F2(3,0),又P(x0,y0),所以+=+=, k1k2y0y0y011111??4y0?2x011 +=-所以+=?·=-8.因此+为定值,这个定值为-8. kk1kk2k?k1k2??x0?y0kk1kk2