Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Task?Generaltopology task, Design Response?Create:
Single-term,
Variable:Eigenfrequency
from
modal
analysis orEigenfrequency calculated with Kreisselmaier-Steinhauser formula。
4）惯性矩（Moment of inertia）：在三个方向或平面上的惯性矩可以用式12-4计算。
Ix???y2?z2dV;Iy???x2?z2dV;Iz???x2?y2dVIxy????xydV;Ixz????xzdV;Iyz????yzdV;Response?Create: Single-term, Variable:Moment of inertia。
??????(12-4)
Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Task?Generaltopology task, Design 5）内力和内转矩、反作用力和反作用转矩和重量在此无特别表述，应变能和体积与式（12-1）和式（12-2）一致。
3、形状优化的设计响应
针对形状优化，可以使用特征频率、应力、接触应力、应变、节点应变能密度和体积作为设计响应，其中仅体积设计响应可被用以约束定义。
1）特征频率（Eigenfrequency）：应用Kreisselmaier-Steinhauser公式计算的特征值作为设计响应，并被定义到目标函数中。
Abaqus/CAE
操作:切换到优化模块，Task?Shape task, Design
with
Response?Create: Single-term, Variable:Eigenfrequencycalculated Kreisselmaier-Steinhauser formula。
2）应力和接触应力（Stress and Contact stress）:无论应力是从高斯点还是从单元计算得到，优化模块都会把其插值到节点上。应力和接触应力设计响应尽可被用作定义目标函数。
Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Task?Shape task, Design Response?Create: Single-term, Variable: Stress or Contact stress。
3）应变（Strain）:如果是大变形模型，用应力作设计响应就不太合适了，比如金属结构进入塑性变形其塑性区域的应力值几乎一样大。在此情况下选用弹性应变、塑性应变或总应变作设计响应较为合适。
Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Task?Shape task, Design Response?Create: Single-term, Variable: Strain。
4）节点应变能密度（Nodal strain energy density）：其用式（12-5）计算。
u??ij?ij（12-5）
由式12-5可知，节点应变能密度综合考虑了应变和应力，所以针对非线性材料，局部
『10』
第12章优化设计和敏感性分析
逐点应变能密度能够更好的表征材料失效。
Abaqus/CAE
操作:切换到优化模块，Task?Shapetask, Design
Response?Create:Single-term, Variable: Strain energy density。
5）体积（Volume）：参考上文已有之表述。
12.2.3 目标函数设置
目标函数用于定义优化的目标，其是通过对一组设计响应公式运算得到的唯一的标量值，比如设计响应为节点应变能，目标函数可以定义成最小化设计响应总和。优化问题可以用min???u?x?,x??表征，其中目标函数Ф值依赖于状态变量u和设计变量x。
由此可知，最小化N个设计响应的目标函数可用式12-6表述。
?min?N??min??Wi?i??iref?（12-6）
?i?1???同理，最大化N个设计响应的目标函数可用式12-7表述。
?max?N??max??Wi?i??iref?（12-7）
?i?1???其中，对每个设计响应?i都引入一个权重因子Wi和一个参考值?iref。默认权重因子为1，对拓扑优化的默认参考值为0，而对形状优化的默认参考值是由软件计算而来。
另外，还有一个重要的目标函数优化公式，即最小化最大的设计响应，用式（12-8）表述。在每次设计循环，优化程序首先判断哪个设计响应具有最大值，然后最小化这个设
计响应。
?minmax?min?maxi?Wi??i??iref???（12-8）
Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Objective Function?Create: Target。
12.2.4 约束设置
约束是对优化强加限制以获得合适之设计。其可用式（12-9）表述。即设计响应?i被常数?i?约束限制。
?i?u?x?,x???i??0（12-9）
通过约束以减少优化方案的尝试，提高优化速度，并获得合适的优化结果。 注意： 1. 只有体积约束可用应用于拓扑优化和形状优化，但体积不能用作目标函数。 2. 针对整体模型或单个区域，可用使用多个不同类型的约束，但不能使用多个相同类型的约束，以免约束冲突。 Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Constraint?Create。
12.2.5 几何限制
几何限制是对设计变量直接施加约束，可用式（12-10）表述。
Ki?x??Ki??0（12-10）
其中，Ki是对设计变量x布局的表达式。 几何限制包括两类：设计上的限制和制造上的限制 1、设计上的限制
设计上的限制有冻结区域、限制部件最大/最小尺寸。 ? 冻结区域（Frozen area）
特别定义一个区域，使其从优化区域中排除，不修改冻结区域内的模型。对加载有预定义条件的区域都必须冻结，为简化此操作，Abaqus优化模块能够自动冻结具有预定义条件和加载的区域。
Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Geometric Restriction?Create: Frozen area。 ? 最大/最小元件尺寸（Member size）
针对一些设计，不能有太薄的元件，以免加工困难。而针对类似铸造件，又不能有过厚的元件。一旦设定了尺寸限制，优化时间会增加很多，所以，如无必要不要使用此限制。
Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Geometric Restriction?Create: Member size。 ? 对称结构（Symmetric Structure）
设定对称限制，能够加速优化，比如施加轴对称和平面对称、点对称和旋转对称、循环对称等。
Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Geometric Restriction?Create: Planarsymmetry, Pointsymmetry, Rotational symmetry, orCyclic symmetry。
『12』
第12章优化设计和敏感性分析
2、制造上的限制
制造上的限制主要是为了满足可注塑性和可冲压性。 ? 可注塑性/可锻造性（Moldable/Forgeable）
为满足可注塑性，要阻止优化模型含有空洞和负角。图12-5所示意的结构就不具备可注塑性。
(a) 含有空洞（b）含有负角 图 12-5
不具备可注塑性
Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Geometric Restriction?Create: Demold control; Demold technique, Demolding with a central plane or Demolding at the region surface or Forging。
? 可冲压性（Stampable）
考虑冲压的特殊性，在优化时，如果删除了一个单元，也会把其前后的单元一起删除，如图12-6所示。
图 12-6
可冲压性结构
针对拓扑优化，Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Geometric Restriction?Create: Demold control; Demold technique,Stamping。
针对形状优化，Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Geometric Restriction?Create: Stamp control。