这一定理中的Dn可衡量Fn?x?与F（x）在x的一切值上的最大差异。定理表明n足够大后，对一切x，Fn?x?与F（x）之差的绝对值都很小这一事件发生的概率接近于1。 直方图
设X1,X2,L,Xn是总体X的一个样本，又设总体具有概率密度f，如何用样本来推断f？注意到现在的样本是一组实数，因此，一个直观的办法是将实轴划分为若干小区间，记下诸观察值Xi落在每个小区间中的个数，根据大数定律中频率近似概率的原理，从这些个数来推断总体在每一小区间上的密度。具体做法如下：
10 找出X(1)?minXi，X(n)?maxXi。取a略小于X(i)，b略大于X(n)；
1?i?n1?i?n20 将[a,b]分成m个小区间，m?n，小区间长度可以不等，设分点为
a?t0?t1?L?tm?b
在分小区间时，注意每个小区间中都要有若干观察值，而且观察值不要落在分点上。
30 记nj=落在小区间(tj?1,tj]中观察值的个数（频数），计算频率fj?别记下各小区间的频数、频率。
40 在直角坐标系的横轴上，标出t0,t1,L,tm各点，分别以(tj?1,tj]为底边，作高为fj/?tj的矩形，?tj?tj?tj?1,j?1,2,L,m,即得直方图1.2.1．
njn，列表分
图1.2.1
实际上，我们就是用直方图对应的分段函数
fj
?n(x)?来近似总体的密度函数f(x)．这样做为什么合理？我们引进“计数随机变量”，对每个小
区间(tj?1,tj]，定义
??1,若Xi?(t j?1,tj]?i??,i?1,2,L,n 0,若X?(t,t]?ti,x?(tj?1,tj],j?1,2,L,m??ij?1j则?i是独立同分布于两点分布：
P{?i?x}?px(1?p)1?x,x?0或1
其中p?P{X?(tj?1,tj)}，由强大数定律，我们有
1nfj????i?E?i?pnnj?1tjnj
?P{X?(tj?1,tj]}?tj?1?f(x)dx (n??)以概率为１成立，于是当n充分大时，就可用fj来近似代替上式右边以f(x)(x?(tj?1,tj])为曲边的曲边梯形的面积，而且若m充分大，?tj较小时，我们就可用小矩形的高度?n(x)?fj/?tj来近似取代f(x),x?(tj?1,tj].
练习：1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：
日售出台数 天数 2 3 4 5 6 合计 20 30 10 25 15 100 求样本容量n，经验分布函数，样本均值，样本方差，样本修正方差。
解：（1）样本容量为n=100（2）经验分布函数
?0, x?2?0.20, 2?x?3??0.50, 3?x?4Fn?x???
?0.60, 4?x?5?0.85, 5?x?6??1, x?6样本均值，样本方差，样本修正方差分别为
1?2?20+3?30+L+6?15??3.85,10012sn?22?20+32?30+L+62?15??3.852?1.9275, ?1001002100s2?sn??1.9275?1.946969L.99992、 设总体服从泊松分布P（λ），X1,L,Xn是一样本： （1）写出X1,L,Xn的概率分布；
x?（2）计算EX,DX和ESn；
（3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）试计算样本均值, 样本方差和次序统计量的观察值。 解
（1）因为P?Xi?xi??2?xixi!e??,xi?0,1,2,L,??0,所以X1,L,Xn的概率分布为
P?Xi?xi,i?1,2,L,n???P?Xi?xi???i?1i?1nn?xixi!e???e?n?,xi?0,1,2,L. ?xi!ni?1??xii?1n（2）因为EX?DX??，所以EX?EX??,DX?DX?n?1n?12?,ESn?DX??. nnnn1n401n2110210222（3）x??xi??4,sn??xi?x??xi?42?3.6,s2?sn?4.
ni?110ni?110i?19将样本观察值依照从小到大的顺序排列即得顺序统计量x?1?,L,x?10?的观察值如下：（1，2，3，3，4，4，4，5，6，8）。
相关资源：
教材，教师视频讲解。
学习交流： 1、什么是自由度？
所谓自由度，通常是指不受任何约束，可以自由变动的变量的个数.在数理统计中，自由度是对随机变量的二次型（或称为二次统计量）而言的.因为一个含有n个变量的二次型
??ai?1j?1nnijXiXj(aij?aji,i,j?1,2,?,n)的秩是指对称矩阵A?(aij)n?n的秩，它的大小反
映n个变量中能自由变动的无约束变量的多少.我们所说的自由度，就是二次型的秩. 2、如何做频率直方图？（见课件讲解）
第四教学单元
导言：介绍样本均值的分布、正态总体样式的线性函数的分布及?分布与性质。会求样本均值、正态总体样本的线性函数的分布，理解并掌握?分布的定义、基本性质。 四、 抽样分布
统计量是我们对总体X的分布函数或数字特征进行估计与推断最重要的基本概念，求出统计量T?T?X1,L,Xn?的分布函数是数理统计学的基本问题之一。统计量的分布，称为抽样分布。
设总体X的分布函数表达式已知，对于任一自然数n，如能求出给定统计量
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这分布称为统计量T的精确分布。求出统计量T精确分布，T?T?X1,L,Xn?的分布函数，
这对于数理统计学中的所谓小样问题（即在样本容量n比较小的情况下所讨论的各种统计问
题）的研究是很重要的。
但一般说来，要确定一个统计量的精确分布其难度比较大。只对一些重要的特殊情形， 如总体X服从正态分布时，已求出t统计量、?2统计量、F统计量等的精确分布。它们在参数的估计及检验中起着很重要的作用。
若统计量T?T?X1,L,Xn?的精确分布求不出来，或其表达式非常复杂而难于应用，但如能求出它在n??时的极限分布，那么这个统计量的极限分布对于数理统计学中的所谓大样问题（即在样本容量n比较大的情况下讨论的各种统计问题）的研究很有用。但要注意，在应用极限分布时，要求子样的容量n比较大。 1、样本均值的分布
设f（t）为总体X的特征函数，?X1,L,Xn?为总体X的样本，则样本均值X的特征
?函数为?f??t?????. ?n??n2例3 设总体服从正态分布N?,?，求样本均值X的分布。
?? 因X的特征函数为f?t??exp?i?t???122??t?，则样本均值X的特征函数为 2?n2??1?22??t12?t??? f?t??exp?i???????exp?i?t?t?
2n???n2?n??????2?即X的分布为N??,?.
n??2、正态总体样式的线性函数的分布
2设?X1,L,Xn?是从正态总体N?,?中抽得的一个容量为的简单随机样本。考察统
??计量
U??aiXi
i?1n其中ai, i?1,2,L,n是已知常数，它是样本的线性函数。
定理1.2.5 设?X1,L,Xn?是抽自正态总体N?,??2?的一个样本，则U??aX也是
iii?1n