练习
1 从一批机器零件毛坯中随机抽取8件，测得其重量（单位：kg）为：230，243，185，
240，228，196，246，200。
（1）写出总体，样本，样本值，样本容量； （2）求样本的均值，方差及二阶原点距。
解：（1）总体为该批机器零件重量X，样本为X1,L,Xn，样本值为230，243，185，240，228，196，246，200，样本容量为n=8；
1n1 （2）x??xi??230+243+185+240+228+196+246+200??221 ,
ni?181n1?222??566, s?(x?x)?230?221?L?200?221?????i??n?1i?1721n21a2??xi??2302?L?2002??49336.25.
ni?1822 若样本观察值x1,L,xm的频数分别为n1,L,nm，试写出计算平均值和样本方差的
公式（这里n1?L?nm?n）. 解:
mnmnj1mjx??njxj??xj??fjxj, 其中fj?，nj?1nj?1nj?1mnm1mj22sn??nj(xi?x)??(xi?x)??fj(xi?x)2。
nj?1j?1nj?123、设总体X服从两点分布B（1，p），其中p是未知参数，X1,L,X5是来自总体的简单随机样本。指出X1?X2,max?Xi,1?i?5?,X5?2p,?X5?X1?之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
解：X1?X2,max?Xi,1?i?5?,?X5?X1?都是统计量，X5?2p不是统计量，因p是未知参数。
22224 设总体X服从正态分布N?,?，其中?已知，?未知，X1,X2,X3是来自总体的简
??单随机样本。
（1）写出样本X1,X2,X3的联合密度函数；
X1?X2?X3X12?X22?X32,max?Xi,1?i?3?,X1?2?,（2）指出之中哪些是统计量，
3?2哪些不是统计量。
2解：（1）因为X服从正态分布N?,?，而X1,X2,X3是取自总体X的样本，所以有Xi??2服从N?,?，即p?xi?????1e2???xi???22?2,i?1,2,3,
故样本的联合密度函数为
?p?x???ii?1i?133?1e2???xi???2?22?1?2???3/2e3?i?1??xi???2?232。
（2）
X1?X2?X3,max?Xi,1?i?3?,X1?2?都是统计量，因为它们均不包含任何
3未知参数，而
X12?X22?X32?2不是统计量。
相关资源：
教材，教师视频讲解。
讨论交流：
1、为什么要引进统计量？为什么统计量中不能含有未知参数？
引进统计量的目的是为了将杂乱无序的样本值归结为一个便于进行统计推断和研究分析的形式，集中样本所含信息，使之更易揭示问题实质.
如果统计量中仍含有未知参数，就无法依靠样本观测值求出未知参数的估计值，因而就失去利用统计量估计未知参数的意义. 2、常见的统计量有哪些？（见课件讲解）
第三教学单元
1、导言：介绍次序统计量、经验分布函数与直方图等知识。了解直方图的作法。 三、次序统计量、经验分布函数与直方图
次序统计量是一类常用的统计量，由它可派生一些有用的统计量。它们的分布函数和密度函数可参阅课本。
定义1.2.2 设(X1,X2,L,Xn)是取自总体X的一个样本，X(i)被称为该样本的第i个次序统计量，它是样本(X1,X2,L,Xn)的满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值将它们从小到大排列为x?1??x?2??L?x?n?第i个值x(i)是X(i)的观测值，(x1,x2,L,xn)时，
称X(i)，i=1，?，n为该样本的次序统计量，X(1)、X(n)分别称为该样本的最小、最大次序统计量。
定义1.2.3 样本最大次序统计量与样本最小次序统计量之差称为样本极差，常用R表示。若样本容量为n，则样本极差R?X(n)?X(1)。它表示样本取值范围的大小，也反映了总体取值分散与集中的程度，而且计算方便。
定义1.2.4 样本按大小次序排列后处于中间位置上的称为样本中位数，常用md表示。 设
(X1,X2,L,Xn)是来自某总体的一个样本，其次序统计量为X(i)，i=1，?，n，则
?X?n?1?, n为奇数???2???。 md??? ?1??X?n??X?n??，n为偶数2?????1???2???2????例3 由上节例1知数据从小到大排序后为:
26.9 27.2 27.6 27.9 27.9 27.9 28.0 28.0 28.3 28.4
28.5 28.7 28.7 29.1 29.5 29.6 29.8 29.9 30.0 30.1 因而x(1)=26.9，x(20)=30.1，md?11x?10??X?11???28.4?28.5?=28.45. 22??经验分布函数可以用来描述总体分布函数的大致形状。
定义1.2.5 设总体X的分布函数为F（x），从中获得的样本观测值为(x1,x2,L,xn)，将它们从小到大排列成x?1??x?2??L?x?n?，令
?0, x?x?1???k Fn?x???, x?k??x?x?k?1?, k?1,L,n?1
?n?1, x?x?n??则称Fn?x?为该样本的经验分布函数。
经验分布函数Fn?x?在x点的函数值其实就是观测值x1,x2,L,xn中小于x的频率，它是一个左连续的非降函数，且0?Fn?x??1，因而它具有分布函数的性质，可以将它看成是以等概率取x1,x2,L,xn的离散随机变量的分布函数。经验分布函数的图象是一个非降左连续的阶梯函数。
对于x的每一数值而言，经验分布函数Fn?x?为样本(X1,X2,L,Xn)的函数，它是一统计量，即为一随机变量，其可能取值为0，1/n，…，（n-1）/n，1。 事件“Fn?x?=k/n”发生的概率，由于X1,X2,L,Xn相互独立且有相同的分布函数F（x），因而它等价于n次独立重复试验的贝努里概型中事件“X?x”发生k次而其余n-k次不发生的概率，即有：
n?kkkP(Fn?x??)?CnFk?x??1?F?x??,其中F?x??P?X?x?，它是总体X的分布函
n
数。
随样本观测值不同，经验分布函数Fn?x?也不同，但只要样本容量n增大，那么Fn?x?也将在概率意义下越来越“靠近”总体分布函数F（x），对此不加证明的给出如下定理。
定理1.2.4（格里汶科定理）对任给的自然数n，设x1,x2,L,xn是取自总体分布函数
F（x）的一个样本观测值，Fn?x?为其经验分布函数，又记 Dn?supFn?x??F?x?,x?R ,
??则有PlimDn?0?1 .
n????