又∠APB＝135°， ∴∠PAB+∠PBA＝45° ∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°， ∴△PAB∽△PBC
（2）∵△PAB∽△PBC ∴
在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∴
∴PA＝2PC
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC.AC于点D，E， ∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3， ∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270° ∴∠APC＝90°， ∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90° ∴∠EAP＝∠PCD， ∴Rt△AEP∽Rt△CDP， ∴∴h3＝2h2
∵△PAB∽△PBC， ∴
， ，即
，
∴
∴
即：h12＝h2?h3．
．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．
11．(2019安徽)（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6
B．4
C．4.8
D．5
【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决． 【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH， ∴
，
∵EF⊥AC，∠C＝90°， ∴∠EFA＝∠C＝90°， ∴EF∥CD， ∴△AEF∽△ADC， ∴∴
， ，
∵EG＝EF，
∴DH＝CD，
设DH＝x，则CD＝x， ∵BC＝12，AC＝6， ∴BD＝12﹣x，
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG， ∴EG∥AC∥DH， ∴△BDH∽△BCA， ∴即
， ，
解得，x＝4， ∴CD＝4， 故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
12. （2019?湖北天门?10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ＝y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： y＝25t﹣80t+100（0≤t≤4） ； （2）当PQ＝3
时，求t的值；
2
2
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若
不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y关于t的函数解析式（由时间＝路程÷速度可得出t的取值范围）； （2）将PQ＝3
代入（1）的结论中可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，利用勾股定理可求出OB的长，由BQ∥OP可得出△BDQ∽△ODP，利用相似三角形的性质结合OB＝10可求出OD＝6，由CB∥OA可得出∠DOF＝∠OBC，在Rt△OBC中可求出sin∠OBC及cos∠OBC的值，由OF＝OD?cos∠OBC，DF＝OD?sin∠OBC可求出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解． 【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．
当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6）， ∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，
∴PQ＝PE+EQ＝6+|8﹣5t|＝25t﹣80t+100， ∴y＝25t﹣80t+100（0≤t≤4）． 故答案为：y＝25t﹣80t+100（0≤t≤4）． （2）当PQ＝3
2
2
22
2
2
2
2
2
时，25t﹣80t+100＝（3
2
），
2
整理，得：5t﹣16t+11＝0， 解得：t1＝1，t2＝
．
（3）经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值不变．
连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示． ∵OC＝6，BC＝8， ∴OB＝
＝10．