②当DE＝EF时， 又∵△BEF∽△AED， ∴△BEF≌△AED， ∴BE＝AD＝5
③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA， △FDE∽△DAB， ∴∴
＝＝
， ＝，
∵△AEF∽△BCE ∴
＝
＝，
，
时，△CFE为等腰三角形．
∴EB＝AD＝
答：当BE的长为5或
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣
（n﹣2）+3]，
2
则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣×3＝﹣（n﹣4）+， ∵﹣＜0，
∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，
2
（n﹣2）+3]+×3×（n﹣2）﹣×4
2
∵＝m，
∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝观察图象可知：当0＜m＜当m＝当m＞
＝，
时，满足条件的点P的个数有4个，
时，满足条件的点P的个数有3个，
时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
9.( 2019甘肃省兰州市)（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE.将∠BDE绕点D顺时针旋转a度（00≤a≤830）.角的两边分别交直线AB于M、N两点.设B.M两点间的距离为xcm，M、N两点间的距离为ycm. 小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整. （1）列表：下表的已知数据是根据B.M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值： x/cm y/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 8 3 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87 请你通过计算，补全表格.
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y）.并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势__________. (4)解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是_________cm（保留两位小数）.
【答案】（1） x/cm y/cm 0 3 8 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 310 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 30.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 （2）图略（描点可得）
（3）随着自变量x的不断增大，函数y呈现先减小再增大的趋势. （4）4和1.33
【考点】函数图象性质，三角形相似. 【考察能力】数据处理分析能力 【难度】难
【解析】 （1）当x＝0时，M点与N点分别和B点E点重合 MN＝BE＝3 当x＝
8时，假设DN交CA的延长线于点H 3∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，
又∵D为BC的中点， BE＝DE.
∴∠B＝∠EDB， ED为AC边的中位线 根据旋转性质
∠B＝∠EDB＝∠C＝∠MDN， ∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质) ∠NDB＝∠MDB+∠MDN， ∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C ∴∠MDB＝∠H， ∠B＝∠C， ∴△MDB∽△DHC ∴
CHDC＝， BDBM∴
4CH＝， CH＝6＝AC 即A点与H点重合 84310. 3
∴MN＝6－BM＝
(2)根据表格描点可得.
（3）根据图象可得
（4）∵MN＝2BM
设BM＝x，MN＝2x，
EN＝3x－3 ， AN＝6－3x， ∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质) ∠NDB＝∠MDB+∠MDN， ∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C ∴∠MDB＝∠H， ∠B＝∠C， ∴△MDB∽△DHC
CHDC＝， BDBMCH41616∴＝， ∴CH＝， HA＝HC－AC＝－6
x4xx∴
又∵△HAN∽△DEN
AHAN＝， EDNE16?66?3x4∴x＝， 解得： x1＝4， x2＝≈1.33
33x?33∴
答：BM为4或1.33.
10．(2019安徽)（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°． （1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2?h3．
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论； （2）由（1）的结论得出
，进而得出
，即可得出结论；
，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，
（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出判断出
，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC， ∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC