2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题26 图形的相似与位似(含解析)

∴抛物线平移的距离为3个单位长度.

【点评】本题考查了矩形的性质,二次函数的图象与性质,轴对称求最短路径问题,勾股定理,坐标系中求三角形面积,抛物线的平移,相似三角形的判定和应用,中点坐标公式.易错的地方有第(1)题对点D.C.B坐标位置的准确说明,第(3)题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论,第(4)题对KL必过矩形中心的证明.

6. (2019?湖南岳阳?10分)如图1,△AOB的三个顶点A.O、B分别落在抛物线F1:y=

x+x的图象上,点A的横坐标为﹣4,点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧) (1)求点A.B的坐标;

(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB',抛物线F2:y=ax+bx+4经过A'、B'两点,已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点,且点A'恰好在以OM为直径的圆上,连接OM、A'M,求△OA'M的面积;

(3)如图2,延长OB'交抛物线F2于点C,连接A'C,在坐标轴上是否存在点D,使得以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

2

2

【分析】(1)把x=﹣4代入抛物线F1解析式求得y即得到点A坐标;把y=﹣2代入抛物线F1解析式,解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标.

(2)根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标(过点作x轴垂线,构造全等得到对应边相等)及OA'的长,用待定系数法求抛物线F2的解析式,进而求得对称轴.设点M纵

坐标为m,则能用m表示A'M、OM的长度.因为点A'恰好在以OM为直径的圆上,即∠OA'M为圆周角,等于90°,故能根据勾股定理列得关于m的方程,解方程求得m的值即求得A'M的长,OA'?A'M即求得△OA'M的面积.

(3)求直线OB'解析式,与抛物线F2解析式联立方程组,求解即求得点C坐标,发现A'与C纵坐标相同,即A'C∥x轴,故∠OA'C=135°.以A.O、D为顶点的三角形要与△OA'C相似,则△AOD必须有一角为135°.因为点A(﹣4,﹣4)得直线OA与x轴夹角为45°,所以点D不能在x轴或y轴的负半轴,在x轴或y轴的正半轴时,刚好有∠AOD=135°.由于∠AOD的两夹边对应关系不明确,故需分两种情况讨论:△AOD∽△OA'C或△DOA∽△OA'C.每种情况下由对应边成比例求得OD的长,即得到点D坐标.

【解答】解:(1)当x=﹣4时,y=×(﹣4)+×(﹣4)=﹣4 ∴点A坐标为(﹣4,﹣4) 当y=﹣2时,x+x=﹣2 解得:x1=﹣1,x2=﹣6 ∵点A在点B的左侧 ∴点B坐标为(﹣1,﹣2)

(2)如图1,过点B作BE⊥x轴于点E,过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO=∠OGB'=90°,OE=1,BE=2 ∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB' ∴OB=OB',∠BOB'=90°

∴∠BOE+∠B'OG=∠BOE+∠OBE=90° ∴∠B'OG=∠OBE 在△B'OG与△OBE中

∴△B'OG≌△OBE(AAS) ∴OG=BE=2,B'G=OE=1 ∵点B'在第四象限

2

2

∴B'(2,﹣1)

同理可求得:A'(4,﹣4) ∴OA=OA'=

2

∵抛物线F2:y=ax+bx+4经过点A'、B' ∴

解得:

2

∴抛物线F2解析式为:y=x﹣3x+4 ∴对称轴为直线:x=﹣

=6

∵点M在直线x=6上,设M(6,m)

∴OM=6+m,A'M=(6﹣4)+(m+4)=m+8m+20 ∵点A'在以OM为直径的圆上 ∴∠OA'M=90° ∴OA'+A'M=OM ∴(4

)+m+8m+20=36+m

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

解得:m=﹣2 ∴A'M=

∴S△OA'M=OA'?A'M=

(3)在坐标轴上存在点D,使得以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似. ∵B'(2,﹣1)

∴直线OB'解析式为y=﹣x

=8

解得:(即为点B')

∴C(8,﹣4) ∵A'(4,﹣4) ∴A'C∥x轴,A'C=4

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)