中小学教育教学资料
的图象可知,-≤0且≤2a-≤π,
解得≤a≤.
答案:
8.已知函数f(x)=mcos2x+(m-2)sinx,其中1≤m≤2.若函数f(x)的最大值记为g(m),则g(m)的最小值为________. 【解析】f(x)=-msinx+(m-2)sinx+
2
=-m++
=-m++-1,
因为1≤m≤2,所以-≤≤0,而
sin x∈[-1,1],所以f(x)max=+-1,
即g(m)=+-1,
所以+-1≥2-1=-1,
当且仅当答案:
-1
=?m=时等号成立.
【易错提醒】本题易忽略判断对称轴的取值范围,正弦函数的有界性以及不等式的等号能否取到.
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三、解答题(每小题10分,共40分) 9.已知向量a=(cosx,sinx+
cosx),b=(cosx-sinx,-sinx),f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)当x∈时,求f(x)的取值范围.
【解析】(1)f(x)=a·b =cos x(cos x-=cosx-sinx-2
2
2
sin x)+(sin x+sin xcos x
cos x)·(-sin x)
=cos 2x-sin 2x=2cos,
π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ?+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以单调递增区间为:(k∈Z).
(2)由(1)得:f(x)=2cos,
因为x∈,
所以2x∈?2x+∈,
所以cos∈,
所以f(x)=2cos∈[-,2].
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10.已知向量m=(2sinωx,sinωx),n=(cosωx,-2sinωx)(ω>0),函数f(x)=m·n+,直线x=x1,x=x2
是函数y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为. (1)求ω的值.
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
(3)若f(α)=,求sin的值.
sinωx)(ω>0),所以函数
【解析】(1)已知向量m=(2sinωx,sinωx),n=(cosωx,-2f(x)=m·n+
=2sinωx·cosωx+sinωx(-2
sinωx)+
=sin 2ωx-2sinωx+
2
=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin.
因为直线x=x1,x=x2是函数y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为,
所以函数f(x)的最小正周期为×2=π,即=π,得ω=1;
(2)由(1)知,f(x)=2sin,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为
,k∈Z;
(3)由已知条件,得f(α)=2sin=,
所以sin=,cos
2
=,
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所以cos 2=,
所以sin=sin
=-cos 2=-.
11.已知函数f(x)=sinxcos,x∈R.
(1)将f(x)的图象向右平移个单位,得到g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.
(2)若f(α)=-,且0<α<,求sin2α的值.
【解析】(1)f(x)=sin x
=sin xcos x-sinx=
2
sin 2x-
=-
=sin-,
所以g(x)=sin-,
所以-+2kπ<2x-<+2kπ