专业 姓名 学号 成绩
H=1;s=0; for i=1:m
xi=rand(); yi=H*rand(); if yi pi=4*H*(b-a)*s/m 运行结果： pi = 3.1480 syms x; syms k; f(x,k)=x^3+k*x; x=-3:0.01:3; y1=x.^3-0.6*x; y2=x.^3-0.3*x; y3=x.^3; y4=x.^3+0.3*x; y5=x.^3+3*x; plot(x,y1,'y',x,y2,'m',x,y3,x,y4,'r',x,y5,'g') grid on 数学实验实验报告 45 专业 姓名 学号 成绩 综合题 一、方程求根探究 设方程4x?4x?0 1.用matlab命令求该方程的所有根； 423x3?x 2.用迭代法求它的所有根，设迭代函数为f(x)? 24x?21)验证取该迭代函数的正确性； 2)分别取初值为-1.1,-1,-0.9,….,0.9,1,1.1,观察迭代结果，是否得到了原方程的根； 3)总结出使得迭代序列收敛到每个根时，初值的范围，比如要使迭代序列收敛到0（方程的一个根）初值应该在什么集合中选取，找出每个根的这样的初值集合。寻找的方法，可以是理论分析方法或数值实验方法。 解答： 1． 用solve命令即可求出所有解； 2． 1）提示：验证原方程与f(x)?x同解，以及验证迭代函数在不动点附 近的导数绝对值是否小于1 2）代码省略，结果：初值取-1.1，-1，-0.9,-0.8，0.7时收敛到-1，初值取-0.7,0.8,0.9，1,1.1时收敛到1，初值取-0.6，-0.5，。。。，0.5,0.6时收敛到0； ,3）在(??,?22),(?21/721/7),(22,?)?中分别取初值，最后 分别收敛到-1,1,0；在(21/7,2/2)内有无穷多个收敛到-1的初值小开区间，也有无穷多个收敛到0的小开区间，它们相互交替着；这种状态反射到(?2/2,?21/7)内，即：在(?2/2,?21/7)内有无穷多个收敛到1的初值小开区间，也有无穷多个收敛到0的小开区间，它们也是相互交替着，这些小区间与(21/7,2/2)内小开区间对应。 二、1.三次曲线 (a)对k=0及其邻近的k的正值和负值，把f(x)?x?kx的图形画在一 数学实验实验报告 46 3专业 姓名 学号 成绩 个公共屏幕上。k的值是怎样影响到图形的形状的？ (b)求f?(x)，它是一个二次函数。求该二次函数的判别式，对什么样的k值，该判别式为正？为零？为负？对什么k值f?有两个零点？一个或没有零点？现在请说明k的值对f 图形的形状有什么影响。 (c)对其他的k值做实验。当k???会发生什么情形？当k??呢？ 解答： (a)先用m文件定义函数f(x,k)=x^3+k*x 由fplot('[f(x,-0.6),f(x,-0.3),f(x,0),f(x,0.3),f(x,3)]',[-3,3]) 得下图 403020100-10-20-30-40-3-2-10123可见k值不影响凹凸性，但单调性、单调区间以及极值随k值发生改变；k在0附近，小于0时，函数在某[-a,a]区间上单调递减，该区间长度随着k值增大而减小，k大于等于0时，函数单调增加。 (b) f?(x)?3x?k；判别式???12k，k为负、零、正时判别式分别为正、零、负；故k<0时，f?(x)有两个零点，k=0时f?(x)有一个零点， 2数学实验实验报告 47 专业 姓名 学号 成绩 k>0时f?(x)没有零点。以上说明原函数f(x)的驻点个数随着k值符号而变化，当k由负变正时，驻点由两个变成一个再到没有驻点，相应的单调区间由三个变成一个，单增单减单增，变为单增。 (c) k值越小单减区间长度越大，当k???时，f(x)单减区间变为无穷大对称区间，图形近乎垂直直线；当k??时，单增区间变为无穷大对称区间，图形近乎垂直直线。 2.四次曲线 (a)对k=-4及其邻近的k值，把f(x)?x?kx?6x,?1?x?4的图形画在一个公共屏幕上。k的值是怎样影响到图形的形状的？ (b)求f??(x)，它是一个二次函数。求该二次函数的判别式，对什么样的k值，该判别式为正？为零？为负？对什么k值f??有两个零点？一个或没有零点？现在请说明k的值对f 图形的形状有什么影响。 解答： (a)先用m文件定义函数f(x,k)=x^4+k*x^3+6*x^2 fplot('[f(x,-4.2),f(x,-5),f(x,-4.5),f(x,-4),f(x,-3.5),f(x,-2.5)]',[-1,4]) 得图 432数学实验实验报告 48