专题08 平面解析几何（解答题）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为
与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若AP?3PB，求|AB|． 【答案】（1）y?3的直线l与C的交点为A，B，2uuuruuur37413. x?；（2）283【解析】设直线l:y?（1）由题设得F?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 235?3?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．
22?4?3?y?x?t12(t?1)?222由?，可得9x?12(t?1)x?4t?0，则x1?x2??．
92??y?3x12(t?1)57?，得t??． 92837所以l的方程为y?x?．
28uuuruuur2（）由AP?3PB可得y1??3y2．
从而?3??y?x?t22由?，可得y?2y?2t?0． 2??y?3x所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3． 代入C的方程得x1?3,x2?故|AB|?1． 3413． 3【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系. 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(?2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积
为?
12.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交
C于点G.
（i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）
16. 9yy1x2y2???，化简得?【解析】（1）由题设得?1(|x|?2)，所以C为中心在坐标原点，x?2x?2242焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为y?kx(k?0)．
?y?kx2?22x??由?x得． y21?2k??1??42记u?21?2k2，则P(u,uk),Q(?u,?uk),E(u,0)．
于是直线QG的斜率为
kk，方程为y?(x?u)． 22k?y?(x?u),??2由?2得 2?x?y?1??42(2?k2)x2?2uk2x?k2u2?8?0．①
23u(3k?2)uk设G(xG,yG)，则?u和xG是方程①的解，故xG?，由此得yG?． 222?k2?kuk3?uk212?k??从而直线PG的斜率为．
u(3k2?2)k?u2?k2所以PQ?PG，即△PQG是直角三角形．
22ukk?1（ii）由（i）得|PQ|?2u1?k，|PG|?，所以△PQG的面积
22?k218(?k)18k(1?k)kS?|PQ‖PG|??． 2212(1?2k)(2?k)1?2(?k)2k1设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
k8t16[2+∞t=2k=1S因为S?在，）单调递减，所以当，即时，取得最大值，最大值为． 21?2t916因此，△PQG面积的最大值为．
92【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.
1x23．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，
22切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，
5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2【答案】（1）见详解；（2）3或42. 【解析】（1）设D?t,???1??,2?A?x1,y1?，则x12?2y1.
1由于y'?x，所以切线DA的斜率为x1，故2?x .
1x1?ty1?整理得2 tx1?2 y1+1=0.
设B?x2,y2?，同理可得2tx2?2 y2+1=0. 故直线AB的方程为2tx?2y?1?0. 所以直线AB过定点(0,).
（2）由（1）得直线AB的方程为y?tx?121. 21?y?tx???2由?，可得x2?2tx?1?0. 2?y?x??2于是x1?x2?2t,x1x2??1,y1?y2?t?x1?x2??1?2t2?1，
|AB|?1?t2x1?x2?1?t2??x1?x2?2?4x1x2?2?t2?1?.
2设d1,d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1?t?1,因此，四边形ADBE的面积S?d2?2t?12. 1|AB|?d1?d2???t2?3?t2?1. 22设M为线段AB的中点，则M?t,t???1??. 2?uuuuruuuuruuuruuur22由于EM?AB，而EM?t,t?2，AB与向量(1, t)平行，所以t??t?2?t?0.解得t=0或t??1.
??当t=0时，S=3；当t??1时，S?42. 因此，四边形ADBE的面积为3或42. 【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.
4．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=?2py经过点（2，?1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=?1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 【答案】（1）抛物线C的方程为x??4y，准线方程为y?1；（2）见解析.
2【解析】（1）由抛物线C:x??2py经过点(2,?1)，得p?2.
2所以抛物线C的方程为x??4y，其准线方程为y?1. （2）抛物线C的焦点为F(0,?1). 设直线l的方程为y?kx?1(k?0).
2?y?kx?1,由?2得x2?4kx?4?0. ?x??4y