(word完整版)2017-2019三年高考数学(理科)分类汇编专题08平面解析几何(解答题),推荐文档

专题08 平面解析几何(解答题)

1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为

与x轴的交点为P.

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若AP?3PB,求|AB|. 【答案】(1)y?3的直线l与C的交点为A,B,2uuuruuur37413. x?;(2)283【解析】设直线l:y?(1)由题设得F?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?. 235?3?,0?,故|AF|?|BF|?x1?x2?,由题设可得x1?x2?.

22?4?3?y?x?t12(t?1)?222由?,可得9x?12(t?1)x?4t?0,则x1?x2??.

92??y?3x12(t?1)57?,得t??. 92837所以l的方程为y?x?.

28uuuruuur2()由AP?3PB可得y1??3y2.

从而?3??y?x?t22由?,可得y?2y?2t?0. 2??y?3x所以y1?y2?2.从而?3y2?y2?2,故y2??1,y1?3. 代入C的方程得x1?3,x2?故|AB|?1. 3413. 3【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及平面向量、弦长的求解方法,解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,利用根与系数的关系构造等量关系. 2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A(?2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积

为?

12.记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交

C于点G.

(i)证明:△PQG是直角三角形; (ii)求△PQG面积的最大值.

【答案】(1)见解析;(2)(i)见解析;(ii)

16. 9yy1x2y2???,化简得?【解析】(1)由题设得?1(|x|?2),所以C为中心在坐标原点,x?2x?2242焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.

(2)(i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y?kx(k?0).

?y?kx2?22x??由?x得. y21?2k??1??42记u?21?2k2,则P(u,uk),Q(?u,?uk),E(u,0).

于是直线QG的斜率为

kk,方程为y?(x?u). 22k?y?(x?u),??2由?2得 2?x?y?1??42(2?k2)x2?2uk2x?k2u2?8?0.①

23u(3k?2)uk设G(xG,yG),则?u和xG是方程①的解,故xG?,由此得yG?. 222?k2?kuk3?uk212?k??从而直线PG的斜率为.

u(3k2?2)k?u2?k2所以PQ?PG,即△PQG是直角三角形.

22ukk?1(ii)由(i)得|PQ|?2u1?k,|PG|?,所以△PQG的面积

22?k218(?k)18k(1?k)kS?|PQ‖PG|??. 2212(1?2k)(2?k)1?2(?k)2k1设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.

k8t16[2+∞t=2k=1S因为S?在,)单调递减,所以当,即时,取得最大值,最大值为. 21?2t916因此,△PQG面积的最大值为.

92【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,以及利用直线与椭圆的位置关系,判断三角形形状以及三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力,考查了求函数最大值问题.

1x23.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C:y=,D为直线y=?上的动点,过D作C的两条切线,

22切点分别为A,B.

(1)证明:直线AB过定点: (2)若以E(0,

5)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积. 2【答案】(1)见详解;(2)3或42. 【解析】(1)设D?t,???1??,2?A?x1,y1?,则x12?2y1.

1由于y'?x,所以切线DA的斜率为x1,故2?x .

1x1?ty1?整理得2 tx1?2 y1+1=0.

设B?x2,y2?,同理可得2tx2?2 y2+1=0. 故直线AB的方程为2tx?2y?1?0. 所以直线AB过定点(0,).

(2)由(1)得直线AB的方程为y?tx?121. 21?y?tx???2由?,可得x2?2tx?1?0. 2?y?x??2于是x1?x2?2t,x1x2??1,y1?y2?t?x1?x2??1?2t2?1,

|AB|?1?t2x1?x2?1?t2??x1?x2?2?4x1x2?2?t2?1?.

2设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1?t?1,因此,四边形ADBE的面积S?d2?2t?12. 1|AB|?d1?d2???t2?3?t2?1. 22设M为线段AB的中点,则M?t,t???1??. 2?uuuuruuuuruuuruuur22由于EM?AB,而EM?t,t?2,AB与向量(1, t)平行,所以t??t?2?t?0.解得t=0或t??1.

??当t=0时,S=3;当t??1时,S?42. 因此,四边形ADBE的面积为3或42. 【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题,第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班地求解就可以,思路较为清晰,但计算量不小.

4.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C:x2=?2py经过点(2,?1).

(1)求抛物线C的方程及其准线方程;

(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=?1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 【答案】(1)抛物线C的方程为x??4y,准线方程为y?1;(2)见解析.

2【解析】(1)由抛物线C:x??2py经过点(2,?1),得p?2.

2所以抛物线C的方程为x??4y,其准线方程为y?1. (2)抛物线C的焦点为F(0,?1). 设直线l的方程为y?kx?1(k?0).

2?y?kx?1,由?2得x2?4kx?4?0. ?x??4y

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