高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析(含答案)第3章 统计案例 改好56页

高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析(含答案)

(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图),其中样本数据的分组区间为[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.

(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附:

P(K2≥k0) k0 n?ad-bc?2K=.

?a+b??c+d??a+c??b+d?

2

0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879 4 500

解 (1)由分层抽样可得300×=90,所以应收集90位女生的样本数据.

15 000

(2)由频率分布直方图得学生每周平均体育运动超过4小时的频率为1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,可得每周平均体育运动时间与性别列联表:

每周平均体育运动时间不超过4小时 每周平均体育运动时间超过4小时 总计 结合列联表可算得K2的观测值 300×?45×60-30×165?2k=≈4.762>3.841.

75×225×210×90

所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

n?ad-bc?2

反思与感悟 (1)解答此类题目的关键在于正确利用K=计算k的值,

?a+b??c+d??a+c??b+d?

2

男生 45 165 210 女生 30 60 90 总计 75 225 300 再用它与临界值k0的大小作比较来判断假设检验是否成立,从而使问题得到解决. (2)此类题目规律性强,解题比较格式化,填表计算分析比较即可,要熟悉其计算流程,不

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难理解掌握.

跟踪训练3 某校高三年级在一次全年级的大型考试中,数学成绩优秀和非优秀的学生中,物理、化学、总分成绩优秀的人数如下表所示,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀有关系?

数学优秀 数学非优秀 物理优秀 228 143 化学优秀 225 156 总分优秀 267 99 注:该年级在此次考试中数学成绩优秀的有360人,非优秀的有880人. 解 列出数学成绩与物理成绩的2×2列联表如下:

数学优秀 数学非优秀 合计 物理优秀 228 143 371 物理非优秀 132 737 869 合计 360 880 1 240 将表中数据代入公式,得K21的观测值为 1 240×?228×737-132×143?2k1=≈270.1>10.828.

360×880×371×869列出数学成绩与化学成绩的2×2列联表如下:

数学优秀 数学非优秀 合计 化学优秀 225 156 381 化学非优秀 135 724 859 合计 360 880 1 240 将表中数据代入公式,得K22的观测值为 1 240×?225×724-156×135?2k2=≈240.6>10.828.

360×880×381×859列出数学成绩与总分成绩的2×2列联表如下:

数学优秀 数学非优秀 合计 总分优秀 267 99 366 总分非优秀 93 781 874 合计 360 880 1 240 将表中数据代入公式,得K23的观测值为 1 240×?267×781-93×99?2k3=≈486.1>10.828.

360×880×366×874

由上面的分析知,K2的观测值都大于10.828,说明在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀都有关系.

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求K2时用错公式致误

例4 在109个人身上试验某种药物预防感冒的作用,得到如下列联表:

服用药 未服用药 总计 则有多大把握认为该药有效? 109×?11×46-21×31?2

错解 k=≈0.313 8<0.455,

57×52×32×77∴在犯错误的概率不超过0.5的前提下不能认为该药有效. n?ad-bc?2

错因分析 K=,

?a+b??c+d??a+c??b+d?

2

感冒 11 21 32 未感冒 46 31 77 总计 57 52 109 而错解中误将(ad-bc)2写成(ab-cd)2.

109×?11×31-21×46?2

正解 k=≈5.830 0>5.024,

57×52×32×77∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该药物有效.

点评 要理解公式的推导过程,掌握公式中每个量的意义,抓住公式的特征,就会避免用错公式.

1.观察下列各图,其中两个分类变量x,y之间关系最强的是( )

答案 D

解析 观察等高条形图发现

x1x2和相差越大,就判断两个分类变量之量关系越强. x1+y1x2+y2

2.下面是一个2×2列联表:

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x1 x2 总计 则表中a,b处的值分别为( ) A.94,96 C.52,60 答案 C

解析 ∵a+21=73,∴a=52,b=a+8=52+8=60.

3.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查,列出了如下2×2列联表:

50岁以下 50岁以上 总计 偏爱蔬菜 4 16 20 偏爱肉类 8 2 10 总计 12 18 30 B.52,50 D.54,52

y1 a 8 b y2 21 25 46 总计 73 33 106 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为( ) A.90% C.99% 答案 C

30×?4×2-16×8?2

解析 因为K的观测值k==10>6.635,所以有99%的把握认为其亲属

12×18×20×10

2

B.95% D.99.9%

的饮食习惯与年龄有关.

4.为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关系,随机调查了50名学生,得到如下2×2列联表:

男 女 理科 13 7 文科 10 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025. 50×?13×20-10×7?2

根据表中数据,得到K的观测值k=≈4.844.可认为选修文科与性别

23×27×20×30

2

有关系的可能性不低于________. 答案 95%

解析 ∵K2的观测值k≈4.844>3.841,且P(K2≥3.841)≈0.05,这表明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选修文科与性别之间有关系,即选修文科与性别有关系的可能性不低于95%.

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