获得了加速度，打破了人的正常受力状态，因此人突然感觉异常，这种异常的感觉让有些人感到刺激，同时又让有些人感到惊恐。那么，为什么坐后面反而会让人感到更恐惧呢？提示如下：计算坐在翻滚列车前排和最后一排的人从最高点冲下去时的加速度，由此来判断胆大与胆小的人应该如何反而应该如何选择座位。
参考答案：由于我们习惯受到重力的作用，而且在竖直方向的加速度为零，但玩翻滚列车或玩激流勇，车身从最高点冲下去时，人瞬间获得了向下加速度，这就打破了人的正常受力状态，使人突然感觉异常，这种异常的感觉让有些人感到刺激，同时又让有些人感到惊恐，这就是人处于失重状态的感觉，向下的加速度越大，这种感觉越明显。
让我们比较一下坐在过山车最前排和最末排的人在冲下去的瞬间的加速度： 设翻滚列车有10节车厢，每节车厢的总质量为。当第一节列车从轨道最高处冲下去时，忽略列车与轨道之间的摩擦力，第一节车厢的受力情况如图所示。设列车此时的加速度为a，由牛顿第二定律可得：
T??9ma mgsin??T?ma 而T??T，则 a?T?TF?mgsin?1gsin? 10?T?TF?9mgsin?这是第一节车厢向下俯冲时的加速度。
同理，当第十节车厢位于轨道最高处时，第九节车厢的受力情况如图所示，有
T??ma?
9mgsin??T?9ma? 则
? a??9gsin? 10这是第十节车厢向下俯冲时的加速度。
比较最前排和最末排的人在冲下去的瞬间的加速度可知，坐在最前面的人的加速度最小，最后排的加速度最大,后排的失重感应该比前排强烈。因此，胆大的人应该选择最后一排，而胆小的人反而应该坐最前排。因此几乎所有的人都做了错误的选择。
思考题1-4：为了提高火箭发射效率，火箭设计师应该采取什么措施？为什么？
参考答案：(1) 如果火箭设计师要提高火箭发射效率，就应该提高火箭上升的加速度，使火箭在上升单位高度后获得更大的速度；同时工程师也应该考虑火箭发射的燃料耗散率，即完成一次火箭发射用尽量少的燃料，这样也可以减轻火箭的重量，有利于提高发射效率。（2）一方面，根据1-51式可知，火箭的推动力与燃料的喷射速度和火箭质量的变化率成正比，即F??vedM，可见火箭质dt量的减少得越快，火箭的加速度越大，则需要单位时间内喷出的燃料越多，所以工程师应该尽量提高火箭燃料的喷射率。
另一方面，根据1-50式可知，即v?v0?velnM0，火箭燃料的喷射率提高MM0后，M的瞬时值大，火箭的瞬时速度v增加。此外，v也与燃料的喷射速率成
正比，所以工程师也可以通过提高燃料的喷射速率来提高发射效率。
科学问题的解析
万有引力定律及其应用
万有引力定律在天文学上的应用，有极为重要的意义，海王星就是根据万有引力定律被发现的。在18世纪，人们发现太阳系的第七个行星（天王星）的运动轨道，总是与应用万有引力定律计算出来的轨道有一定偏离，于是有人预测，在其轨道外肯定还有一颗未被发现的新星，后来亚当斯和勒维列在预言位置的附近找到了这颗新星——海王星，如图片1-14所示。
请分析：
1、如何根据开普勒定律和牛顿运动定律推导出万有引力定律的数学形式？科学家如何根据此数学形式的推知存在“万有引力定律”的？
参考答案:
（1）对任意一个确定的行星，由Kepler第一定律，以太阳（即椭圆的一个焦点）为极点，椭圆的长轴为坐标轴建立极坐标，则行星的轨道方程为
r?p1?ecos?
b2b2其中p?为焦参数，e?1?2是离心率，a和b分别是椭圆的半长轴与
aa半短轴。
设在时刻t行星与太阳的距离为r?r(t)，它们的连线与坐标轴的夹角为
???(t)，则行星的坐标可表示为(rcos?,rsin?)。
记dA是半径转过角度d?所扫过椭圆中扇形的面积，则
12rd?2
（2）由Kepler第二定律，单位时间内行星扫过相同的面积，故
dA?dA12?r??常数 dt2??d?为行星运动的角速度。 dt设行星绕太阳运行一周的时间为T，经过时间T，半径所扫过的面积恰为整个椭圆的面积?ab，即
?ab??则常数为
T0dA1dt?r2?Tdt2
2?abT
r2??两边对t求导得到
(r2?)'?2rdrd???r?0dtdt
d2rdrd?这里，行星沿半径方向的速度和加速度分别为和2，角加速度为，
dtdtdt则行星在x方向和y方向上的加速度分量为
d2(rcos?)d2r?(2?r?2)cos? 2dtdtd2(rsin?)d2r2?(?r?)sin?22dtdt
设r方向上的单位矢量大小为r0，于是得到加速度的大小为
d2ra?(2?r?2)r0dt
（3）对椭圆方程p?r(1?ecos?)?1两边对t求二阶导数得
d2r?r?22dt?p?r?2?0r
所以
3d2r(r2?)21122a?r??????4???pdt2r2T2r2
a3（4）由牛顿第二运动定律和kepler第三定律，2?常数，则有
T223dr4?am2F?ma?m(?r?)r??r 02220dtTr4?2a3令G?，M是太阳的质量，G称为引力常数， 2MTG?6.67?10?11(N?m2/kg2)。则
F??GMmr0r2
（5）德国科学家早在16世纪就得出了行星运动三定律，但是由于当时缺乏研究变速运动的工具，直到牛顿发明了微积分，人们才成功地推导出了行星在一个恒星的椭圆轨道上运动的动力学表达式。
牛顿发现万有引力定律的思路大体如下：
① 牛顿证明了行星受到的向心力跟物体与焦点的距离的平方成反比，这一