第一章 质点运动
习题解答
一、分析题
1．一辆车沿直线行驶，习题图1-1给出了汽车车程随时间的变化，请问在图中标出的哪个阶段汽车具有的加速度最大。
s 0 0 A B C D E t 习题图1-1 答: E。
位移-速度曲线斜率为速率，E阶段斜率最大，速度最大。
???2．有力P与Q同时作用于一个物体，由于摩擦力F的存在而使物体处于平衡状态，请分析习题图1-2中哪个可以正确表示这三个力之间的关系。
A F Q B C F F P P P Q F P Q P D E F Q Q 习题图1-2 答: C。
三个力合力为零时，物体才可能处于平衡状态，只有（C）满足条件。 3．习题图1-3（a）为一个物体运动的速度与时间的关系，请问习题图1-3（b）中哪个图可以正确反映物体的位移与时间的关系。
velocity 0 time 习题图1-3（a） B displacement D displacement E displacement A displacement C displacement 0 0 time time 0 time 0 time 0 time 答：C。
由v-t图可知，速度先增加，然后保持不变，再减少，但速度始终为正，位移一直在增加，且三段变化中位移增加快慢不同，根据v-t图推知s-t图为C。 三、综合题：
1．质量为的0.50kg的物体在水平桌面上做直线运动，其速率随时间的变化如习题图1-4所示。问：（1）设t?0s时，物体在x?2.0cm处，那么t?9s时物体在x方向的位移是多少？（2）在某一时刻，物体刚好运动到桌子边缘，试分析物体之后的运动情况。
解：（1）由v-t可知，0~9秒内物体作匀减速直线运动，且加速度为：
0.8a?cm/s2?0.2cm/s2
4由图可得：s0?2.0cm，v0?0.8cm/s，vt??1.0cm/s，则由匀减速直线运动的
位移与速度关系可得：
2a(s?s0) ? vt2?v02
s?(vt2?v02)/2a?s022 ?[0.8?(?1.0)]/2?0.2?2.0cm
?1.1cm
（2）当物体运动到桌子边缘后，物体将以一定的初速度作平抛运动。 2．设计师正在设计一种新型的过山车，习题图1- 5为过山车的模型，车的质量为0.50kg，它将沿着图示轨迹运动，忽略过山车与轨道之间的摩擦力。图中A点是一个坡道的最高点，离地高度为1.9m，该坡道的上半部分为一半径为若车从离地2.0m的轨道最高点除出发，初始速度为v0?1.5m/s，（1）0.95m的半圆。
试求过山车到达A点的速度；（2）计算在A点时，轨道对过山车的作用力；（3）如果要使车停在A点，就必须对车施加某种摩擦力，试求摩擦力应该做多少功，才能使车静止在A点；（4）假设要让过山车在A点沿轨道下降之前，刚好能实现与轨道之间没有力的作用，请设想该如何对轨道的设计进行修改，并加以证明。
解：（1）在过山车运动过程中机械能守恒，过山车离地最高点的机械能与A点机械能相等，则
11mv02?mgH0?mvA2?mgH 22
20.?95?2) vA?2g(H0?H)?v02 ?2?10?(2.?0 ?2.06m /s（2）由牛顿第二定律得：
vA2 mg?N?m
r 5m/s1.vA2?m N?mgr?1?0 ?0.502.0260.?50 0.95N ?2.76 N（3）若要使车停在A点，则摩擦力作的功应正好等于车在无摩擦力条件下A点的动能，则
1mvA2 212 ??0.50?2.0 6J2 ?1.06 J Wf?（4）若要使车在A点时N=0，由牛顿第二定律得：
'2vA mg?m （1）
rA由机械能守恒定律得：
11'2mv02?mgH?mvA?2mgrA （2） 22联立①②两式可得：
v02?2gH0rA?
5g21.5?2?1?02m ?5?10?0.85m
可见，如果把A点轨道半径减少为0.85m，过山车在A点与轨道之间没有力的作用。还有一种办法是调整起始最高点与离地高度，同理，可将最高点离地高度升高为2.38m。
3．(缺图)如习题图1- 6所示，火箭模型的质量为0.25kg，t?0时刻，发射引擎推动力F?20.0N,并持续作用2s，然后引擎停止工作，火箭继续上升，当火箭上升到一定高度后，开始竖直下落。请问：（1）在前2s的运行过程中，火箭的平均加速度是多少？（2）火箭到达的最大高度是多少？（3）火箭到达最大高度的时间是多少？
解：（1）由动量定理得：
(F?mg)t?mv
v?F?mgt m20?0.250?10??2m/s
0.250?140m/s
则平均加速度为：
?v140?0?m/s2?70m/s2 ?t2（2）在前2s时间内，火箭近似作匀加速直线运动，则
a?2aH?vt2?v02?vt2
vt21402?m=140m H?2a2?70在2s以后，火箭在重力作用下做匀减速直线运动，直到速度减为0，则
?2gH'?vt2?v02
v021402?m=980m H'?2g2?10则火箭上升的最大高度为：
Hmax?H?H'
?140?980m=1120m
（3）火箭在重力作用下，速度减为0的时间为：
?gt?vt?v0
t?v0140?s?14s g10则火箭到达最大高度的时间为：
T?14s?2s?16s
4．(缺图) 如习题图1- 7所示，原长l0?0.2m的弹簧，一端被固定在光滑的水平桌面上，另一端连着一个m1?8.0kg的物体，同时该物体又通过定滑轮与
m2?4.0kg的物体相连（绳和定滑轮质量不计）。当整个系统达到平衡状态时，
弹簧的长度l?0.25m，物体m2离地高度为h?0.70m。试求：（1）弹簧的劲度系数；（2）如果从P点将绳子切断，物体m2多久后落地；（3）绳子切断后，物体m1的振动频率以及m1达到的最大速度。
解：（1）由胡克定律得：
m2g?k(l?l0)
k?m2g4.0?10?N/m?800N/m l?l00.25?0.2（2）绳子断后m2作自由落体运动，则
H?12gt 2t?2H/g?2?0.70/10s?0.37s
（3）由弹簧振子的振动频率得：
??f?由机械的守恒定律得：
k800?rad/s?10rad/s 2m18?10?Hz?1.59Hz 2?2?3.141212 kx?m1vmax22vmax?kxmax m1k(l?l0) m1800?(0.25?0.2)m/s 8.0???0.5m/s
5、(缺图)（答案有差异） 如习题图1- 8所示，两个小孩在玩雪撬，雪撬A与人的总质量为250kg，雪撬B与人的总质量为200kg，两雪撬之间的距离为
15m。最初雪撬B静止，雪撬A从静止开始以加速度1.5m/s2加速到5m/s后匀
速运动，试问：（1）雪撬A撞上雪撬B需要多少时间？（2）两雪撬碰撞后，雪
撬B的运动速度为4.8m/s、方向向右，雪撬A的速度是多少？（3）两雪撬的碰撞是完全弹性碰撞吗？
解：（1）雪橇A在速度达到5m/s前作匀加速直线运动，则
vA?at1
t1?雪橇A向右运动的距离为：
vA5?s?3.33s a1.511s1?at2??1.5?3.332m?8.33m
22之后，A作匀速直线运动，碰到雪橇B的运动时间为：
t2?15?s115?8.33?s?1.33s vA1.5则A撞上B需要的时间为：
t?t1?t2?3.33?1.33s?4.66s
（2）由动量守恒定理得：
mAvA?mAvA'?mBvB
vA'?mAvA?mBvB
mA250?50?200?4.8m/s
250?1.16m/s 雪橇A的速度向右 ?（3）碰撞前A、B的总动能为：
11Ek0?mAvA2??250?52J?3125J
22碰撞后两者的总动能为：
11Ek?mAvA'2?mBvB2
2211??250?1.162??200?4.82J=2472J 22可见碰撞前后系统与动能不守恒，碰撞为不完全弹性碰撞。
6、(缺题)
解：（1）由位移与速度的关系得：
dxv?
dtx?x0??vdt
0t???8?8t?dt
0t?8t?4t2
当t?2s时，x?8?2?4?22m=0m
dv dtda??8?8t???8m/s2
dt（2）由功的定义得：W?Fx 由速度与加速度的关系得：a?由（1）中可知，02s之间，x?0，则W?0。
思考题
思考题1-1：在棒球运动中，球具有怎样的运动轨迹和规律？棒球手一般通过什么方式来判断和控制球的运动与落点？
参考答案：（1）球的运动轨迹一般为抛物线，运动轨迹取决于抛物线的高度和水平运动距离，在相同的初速度情况下，竖直分运动的高度越高，其水平运动的距离越短。（2）棒球手往往可以通过击球瞬间给球施加力的大小和方向，来控制球抛物线运动的轨迹，从而控制球的落点。棒球高手的优势在于能够很好地判断球的运动情况，决定击球的力度和方位。
思考题1-2：请设想一个可能产生超重的情景，并分析超重的产生原因。
参考答案：发射航天器存在这严重的超重现象，因为航天器在开始加速上升阶段的加速度可以高达8g，远远大于重力加速度，其中的宇航员处于了超重状态。失重产生的原因是物体具有了向上运动的加速度，加速度越大，超重越厉害，物体需要承受的压力也越大。设加速度为a，则宇航员的示重为 G??m(g?a)?G?mg
所以飞船加速时，宇航员处于超重状态。 超重对航天员都很大的生理影响，航天员“最大的压力是承受加速度，“超重耐力”训练要求航天员在承受8倍于自身体重的重力条件下，保持正常的呼吸和思维能力，而玩过山车时经历的刺激最多是2倍多一点的重力加速度。
思考题1-3：坐翻滚列车或玩激流勇进时，车身从最高点冲下去时，人瞬间
获得了加速度，打破了人的正常受力状态，因此人突然感觉异常，这种异常的感觉让有些人感到刺激，同时又让有些人感到惊恐。那么，为什么坐后面反而会让人感到更恐惧呢？提示如下：计算坐在翻滚列车前排和最后一排的人从最高点冲下去时的加速度，由此来判断胆大与胆小的人应该如何反而应该如何选择座位。
参考答案：由于我们习惯受到重力的作用，而且在竖直方向的加速度为零，但玩翻滚列车或玩激流勇，车身从最高点冲下去时，人瞬间获得了向下加速度，这就打破了人的正常受力状态，使人突然感觉异常，这种异常的感觉让有些人感到刺激，同时又让有些人感到惊恐，这就是人处于失重状态的感觉，向下的加速度越大，这种感觉越明显。
让我们比较一下坐在过山车最前排和最末排的人在冲下去的瞬间的加速度： 设翻滚列车有10节车厢，每节车厢的总质量为。当第一节列车从轨道最高处冲下去时，忽略列车与轨道之间的摩擦力，第一节车厢的受力情况如图所示。设列车此时的加速度为a，由牛顿第二定律可得：
T??9ma mgsin??T?ma 而T??T，则 a?T?TF?mgsin?1gsin? 10?T?TF?9mgsin?这是第一节车厢向下俯冲时的加速度。
同理，当第十节车厢位于轨道最高处时，第九节车厢的受力情况如图所示，有
T??ma?
9mgsin??T?9ma? 则
? a??9gsin? 10这是第十节车厢向下俯冲时的加速度。
比较最前排和最末排的人在冲下去的瞬间的加速度可知，坐在最前面的人的加速度最小，最后排的加速度最大,后排的失重感应该比前排强烈。因此，胆大的人应该选择最后一排，而胆小的人反而应该坐最前排。因此几乎所有的人都做了错误的选择。
思考题1-4：为了提高火箭发射效率，火箭设计师应该采取什么措施？为什么？
参考答案：(1) 如果火箭设计师要提高火箭发射效率，就应该提高火箭上升的加速度，使火箭在上升单位高度后获得更大的速度；同时工程师也应该考虑火箭发射的燃料耗散率，即完成一次火箭发射用尽量少的燃料，这样也可以减轻火箭的重量，有利于提高发射效率。（2）一方面，根据1-51式可知，火箭的推动力与燃料的喷射速度和火箭质量的变化率成正比，即F??vedM，可见火箭质dt量的减少得越快，火箭的加速度越大，则需要单位时间内喷出的燃料越多，所以工程师应该尽量提高火箭燃料的喷射率。
另一方面，根据1-50式可知，即v?v0?velnM0，火箭燃料的喷射率提高MM0后，M的瞬时值大，火箭的瞬时速度v增加。此外，v也与燃料的喷射速率成
正比，所以工程师也可以通过提高燃料的喷射速率来提高发射效率。
科学问题的解析
万有引力定律及其应用
万有引力定律在天文学上的应用，有极为重要的意义，海王星就是根据万有引力定律被发现的。在18世纪，人们发现太阳系的第七个行星（天王星）的运动轨道，总是与应用万有引力定律计算出来的轨道有一定偏离，于是有人预测，在其轨道外肯定还有一颗未被发现的新星，后来亚当斯和勒维列在预言位置的附近找到了这颗新星——海王星，如图片1-14所示。
请分析：
1、如何根据开普勒定律和牛顿运动定律推导出万有引力定律的数学形式？科学家如何根据此数学形式的推知存在“万有引力定律”的？
参考答案:
（1）对任意一个确定的行星，由Kepler第一定律，以太阳（即椭圆的一个焦点）为极点，椭圆的长轴为坐标轴建立极坐标，则行星的轨道方程为
r?p1?ecos?
b2b2其中p?为焦参数，e?1?2是离心率，a和b分别是椭圆的半长轴与
aa半短轴。
设在时刻t行星与太阳的距离为r?r(t)，它们的连线与坐标轴的夹角为
???(t)，则行星的坐标可表示为(rcos?,rsin?)。
记dA是半径转过角度d?所扫过椭圆中扇形的面积，则
12rd?2
（2）由Kepler第二定律，单位时间内行星扫过相同的面积，故
dA?dA12?r??常数 dt2??d?为行星运动的角速度。 dt设行星绕太阳运行一周的时间为T，经过时间T，半径所扫过的面积恰为整个椭圆的面积?ab，即
?ab??则常数为
T0dA1dt?r2?Tdt2
2?abT
r2??两边对t求导得到
(r2?)'?2rdrd???r?0dtdt
d2rdrd?这里，行星沿半径方向的速度和加速度分别为和2，角加速度为，
dtdtdt则行星在x方向和y方向上的加速度分量为
d2(rcos?)d2r?(2?r?2)cos? 2dtdtd2(rsin?)d2r2?(?r?)sin?22dtdt
设r方向上的单位矢量大小为r0，于是得到加速度的大小为
d2ra?(2?r?2)r0dt
（3）对椭圆方程p?r(1?ecos?)?1两边对t求二阶导数得
d2r?r?22dt?p?r?2?0r
所以
3d2r(r2?)21122a?r??????4???pdt2r2T2r2
a3（4）由牛顿第二运动定律和kepler第三定律，2?常数，则有
T223dr4?am2F?ma?m(?r?)r??r 02220dtTr4?2a3令G?，M是太阳的质量，G称为引力常数， 2MTG?6.67?10?11(N?m2/kg2)。则
F??GMmr0r2
（5）德国科学家早在16世纪就得出了行星运动三定律，但是由于当时缺乏研究变速运动的工具，直到牛顿发明了微积分，人们才成功地推导出了行星在一个恒星的椭圆轨道上运动的动力学表达式。
牛顿发现万有引力定律的思路大体如下：
① 牛顿证明了行星受到的向心力跟物体与焦点的距离的平方成反比，这一
向心力应该是太阳的引力。
② 因为地球上得重力也是随着与地心距离的增大按平方反比律而减弱的,这表明，天体的运动跟地面上物体的运动，有着共同的规律，它们应该本质上应该是同一种力。
③ 牛顿根据他的作用和反作用定律，推论引力作用是相互的。
由此，他指出这种行星或物体受到的向心力，存在于所有具有一定质量的物体之间，于是称之为万有引力，而把该力的数学表达式称为万有引力定律。 2、天王星的运动轨道与应用万有引力定律计算出来的轨道有怎样的偏离？
参考答案：
天王星在1781年被确认为是太阳系的第7颗行星，之前天文学家曾多次在望远镜中见到过它。1820年，法国天文学家布瓦德搜集当时的全部观测资料，根据天体力学原理计算天王星的运动轨道时，出现了一个奇怪的现象：他用万有引力定律算出的轨道与1781年以后的观测极不相符，其轨道观测值比理论值小。 许多年之后，布瓦德等天文学家将1750年以后在英国格林尼治天文台对各个行星所作的全部观测记录，统一地进行了复核。他们发现，除天王星以外，对于别的行星，观测记录与计算结果都能相当准确地符合。因此，他们断定：问题不是出自观测，应该在理论计算方面找原因。 3、根据这一偏差怎样预测新星的位置。
较多的天文学家提出“未知行星”假说，认为在太阳系中还有一颗比天王
星更远的行星，它的引力作用使天王星的轨道发生了偏离，这逐渐成为了一个公认的科学假说。
两位年轻的天文学家——英国的亚当斯和法国的勒威耶，根据轨道的偏离情况，假设在天王星轨道以外的地方存在这一颗行星，经过反复多次的修正和计算，基本上确定出有关未知行星的各个参数的数值，并指出了可以发现“未知行星”的天区，很快于1846年9月23日在偏离预言位置不到1度的地方这颗星被发现,它被称为海王星。
发现海王星的方法在当时是空前新颖的，后来则成为科学家们的常用方法。
第二章 刚体转动
习题解答
一、分析题
1.对于一个可绕定轴转动的刚体，若忽略摩擦力的存在，请判断下列说法是否正确。（A）刚体匀速转动的条件是合外力为零；（B）刚体加速转动的条件是合外力不为零；（C）刚体匀速转动的条件是合外力矩为零；（D）刚体加速转动的条件是合外力矩不为零。
答：（C）
??根据转动定律M?J?可知：刚体匀速转动的条件是合外力矩为零。
2.跳水运动员跳水时，为何刚起跳时要立刻把身体缩成一团，而在快入水时候又把身体展开？
答：根据角动量守恒定律，起跳时缩起身体，是为了减小J，增大?，能够快速旋转，有利于调整节奏，保证快入水时能直线进入水中；快入水时候把身体展开，是为了增大J，减小?，保证入水时能直线进入水中，减小水花，获得高分。
3.有一个垂直悬挂的细棒可以绕上端点自由旋转，开始时处于垂直静止状态，现有一水平方向快速运动的子弹，与细棒的下端碰撞，如果将细棒和子弹作为一个系统，下列说法是否正确。（A）碰撞瞬间系统所受合外力为零；（B）碰撞瞬间机械能守恒；（C）碰撞瞬间系统动量守恒；（D）碰撞瞬间系统角动量守恒。
答案：（D）
因为碰撞瞬间系统所受合外力矩为零，所以系统角动量守恒。
4.关于刚体对轴的转动惯量，下列说法是否正确.（A）只与刚体质量有关，与质量的空间分布和轴的位置无关；（B）与刚体的质量和质量的空间分布有关，与轴的位置无关；（C）与刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置都有关；（D）只与转轴的位置有关，与刚体的质量和质量的空间分布无关。
答案：（C） 根据J??mr2dm可知刚体对轴的转动惯量与刚体的质量、质量的空间分布
和轴的位置都有关。 三、综合题
1. 一辆行驶速度为108km/h的汽车，车轮的外圈半径为0.5m，汽车所有车轮的转动惯量为J?20kg?m2。在t?0时刻汽车开始制动,如果总的制动摩擦力矩为Mf?100N?m，请问:(1)汽车需要多长时间可以停下来？(2)从开始制动到停止, 汽车行驶了多长距离？
解：（1）汽车的初始行驶速度为108km/h即30m/s，汽车的初始角速度为
ω0?开始制动后角加速度为
v30?rad/s?60rad/s r0.5α?则制动需要的时间为
-MfJ??100N?m2??5rad/s
20kg?m2t?ω?ω0??0?60rad/s?12s 2?5rad/s（2）从开始制动到停止，车轮转过的角度为
?2??02?(60rad/s)2????360rad 22?2?(?5rad/s)则走过的距离为
s?r??0.5m???180m
2. 如习题图2-1所示，一绕地飞行的卫星数据为：质量为m?143kg，周期为T?98min，近地点到地心距离为r1?6670km，远地点到地心距离为r2?8890km，椭圆轨道半长轴为
v2习题图2-1
dsrr+dr r2θ v1r1Ob?7780km，椭圆轨道半短轴为a?7220km，试
求：卫星的近地点速度和远地点速度(提示: 卫星绕椭圆轨道运动的周期为
T?2πab)。 rv解：在地心引力作用下，卫星作椭圆轨道运动，且角动量守恒。
设卫星近地速度为v1，方向与r1垂直；远地速度为v2，方向与r2垂直，则
ds?1rv?1rv为常量 dt211212于是
s?1r1v1T?1r1v2T
22近地点速度
v1?2s2πab2?3.14?7780km?7220km???8.99km/s r1Tr1T6670km?98?60s远地点速度
v2?2s2πab2?3.14?7780km?7220km???6.74km/s r2Tr2T8890km?98?60s3. 如习题图2-2所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上， A轮的转动惯量为JA?10kg?m2， B轮的转动惯量为JB?20kg?m2。开始时A轮的转速为
600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求（1）两轮啮合后的转速；（2）在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
ABC解：?A?600?2π/60rad/s?20πrad/s (1)以两飞轮和啮合器作为一系统来 考虑，角动量守恒。
?AABCJA?A?JB?B?(JA?JB)?
JA?A?JB?B??(JA?JB)将各值代入得两轮啮合后角速度
??10kg?m2?20πrad/s20π???rad/s 22310kg?m?20kg?m即转速n?200r/min
(2)在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为
?E?11122JA?A?JB?B?(JA?JB)?2222?1120π?10kg?m2?(20πrad/s)2?(10kg?m2?20kg?m2)(rad/s)2?1.32?104J 2234. 飞机沿水平方向飞行，机头螺旋桨转轴与飞机的飞行方向一致，螺旋桨
叶片的长度为180cm，发动机转速为2200r/min。试求：（1）桨尖相对于飞机的线速率是多少？（2）若飞机以216km/h的速率飞行，计算桨尖相对于地面速度的大小是多少？并定性说明桨尖的运动轨迹。
解：(1)桨尖相对于飞机的线速率：
v1?ωR?2π?2200?1.8m/s?414.48m/s
60(2)因为桨尖相对于飞机的线速度与飞机前行的速度互相垂直，飞机的前行速度为216km/h即60m/s,所以桨尖相对于地面速度的大小：
v2?2v1?602m/s?418.80m/s
由于桨尖同时参与两个运动：匀速直线运动和匀速圆周运动.故桨尖轨迹应是一个圆柱螺旋线。
5. 一转动飞轮的半径为r?0.5m，转动惯量为J?10kg?m2，转速为两制动闸对轮的压力都为325N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为??0.4.??52rad/s，
试求：从开始制动到静止，一共需要用多少时间？
解：因为制动总的力矩为：
Mf?2?Nr?2?0.4?325N?0.5m?130N?m
则角加速度为
α?则制动需要的时间为
-MfJ?-130N?m??13rad/s2 210kg?mt?即开始制动到静止需要4s时间。
ω?ω0??0?52rad/s?4s
?13rad/s26.如习题图2-3所示，一人站在自由转动的圆盘中心（不计摩擦），人与转盘的转动惯量J0?100kg?m2，人手臂伸直后的长度为1m（人的手掌与人体中心
轴线距离），手臂完全收拢时长度为0.2m。人的每只手各抓有一个质量m?5kg的哑铃。试问：（1）在人伸缩手臂的过程中，人、哑铃与转盘组成的系统的角动量是否守恒？为什么？（2）如果人伸直手臂时，系统转动角速度?1?3rad/s，人收拢手臂时的角速度?2是多少？（3）系统在转动的过程中，机械能是否守恒？为什么？
解： (1) 整个过程合外力矩为0，角动量守恒.
?1?
2
（2）J1?J0?2ml12?100kg?m2?2?5kg?(1m)2?110kg?m2
2J2?J0?2ml2?100kg?m2?2?5kg?(0.2m)2?100.4kg?m2
因为 J1?1?J2?2
J1?1110kg?m2?3rad/s所以 ?2???3.29rad/s 2J2100.4kg?m(3) 在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功.
思考题
思考题2-1 石磨一般包含上下两个石头磨盘，上面磨盘上装有一横杆作为把手，当人用力推动把手时，上面磨盘就会转动，通过两个磨盘之间的摩擦来研磨食物。请问：人们为什么要装一个横杆而不是直接推动磨盘？人在什么位置推把手才能使磨盘转动得快？人在什么位置推把手更省力？
参考答案：直接推动磨盘，因为推动磨盘的力臂太短，会很费力；在磨盘上装一横杆增加了力臂，推动磨盘就会很省力；推把手时，手离磨盘越近，因为线速度不变，半径减小，角速度增大，磨盘转动越迅速；但这时因为力臂太短感觉
费力；要想省力，应在把手的末端推把手，因为作用力相同时，这时力矩最大。 思考题2-2 地球的质量为5.98?1024kg，假定一个质量为100kg的人想用一根长杆借助一个支点撬起地球，支点的位置在哪儿最好？根据支点位置估算撬起地球的杆有多长？
参考答案：本题可参考下图,从理论上讲，撬动地球的受力点与支点的距离越小越好，距离越小，人作用力的力矩越大。我们如果取支点位置和地球的受力点的距离恰好是地球的半径，即6370公里，则一个质量为100kg的人要撬动地球需要的杆的长度为
381?1023km，此杆的长度远远大于目前人类探测的宇宙大小（这种撬动实际上
是不可能实现的，只是用来说明力矩的作用）。
工程问题解析
汽车制动器
汽车制动器是指产生阻碍车辆运动或运动趋势的力（制动力）的部件，其中也包括辅助制动系统中的控制装置。目前，汽车所用的制动器几乎都是摩擦式的，主要分为鼓式和盘式两大类(如图片2-7所示)。
鼓式制动器摩擦元件为制动鼓，其工作表面为圆柱面.制动鼓(刹车片)
汽车鼓式制动器/ 汽车盘式制动器 制动鼓（刹车片） 制动盘 刹车片 图片2-7汽车制动装置
位于制动轮内侧，在刹车的时候制动鼓向外张开，摩擦制动轮的内侧，达到刹车的目的.盘式制动器的摩擦元件为旋转的制动盘和固定的制动钳，制动盘固定在车轮上随车轮转动，制动钳的两个刹车片分别装在制动钳的内部两侧.在汽车刹车时,制动钳被液压装置推动后,钳住旋转中的制动盘，迫使车轮停下来。
汽车的这两种制动方式虽然不同，但在物理上都是利用摩擦力矩来制动的。 请分析：
1．如果把车轮看作绕车轴转动的刚体，汽车是怎样利用摩擦力矩的？ 2. 为什么汽车制动器的刹车片要安装在制动盘或车轮的边缘？ 3. 工程师可以采用哪些方法来改进汽车的制动器？
参考答案：1. 在刹车的时候，车轮边缘的制动轮产生摩擦力，进而产生摩擦力矩，使得车轮转动越来越慢。
2. 同样大小的摩擦力，在车轮边缘的摩擦力矩最大，可以尽快地使车轮减速，提高摩擦力的利用效率。
3. 鼓式刹车盘和盘式刹车盘都可以发挥摩擦力矩的作用使得车轮减速，但在减速的过程中，要产生大量的热量，一方面会使刹车片的寿命缩小，另一方面发热的刹车片影响制动效果，工程师在改进汽车制动器的时候，一方面可以寻找更耐热的材料，另一方面在不影响制动效果的前提下改进散热方面的设计。
第三章 相对论
习题解答
一、分析题
1．银河系的直径大致为10万光年，1光年是光在1年之内走过的距离。如果有人乘坐一艘以光速飞行的宇宙飞船横穿银河系，他将在飞船上度过多少时间？为什么？
v答：时间为零，因为根据狭义相对论长度l?l01?()2可知，对乘坐速度为
c光速的宇宙飞船的人，银河系的直径等于零。
2．在地球上观察到一束光在t1时刻发出，另一束光在t2时刻发出，那么地球上的计时器显示这两束光发出的时间差是?t?t2-t1。假定光束本身可以计时，是不是第二束光认为自己与第一束光发出的时间差也是?t?t2-t1？为什么？
答：时间间隔为零，因为对于光线来讲，经历的时间永远为零。
3．如果我们乘坐一艘宇宙飞船从地球旁经过，飞船相对于地球的速度为光速的一半，那么我们看到的地球还是圆形吗？如果宇宙飞船的速度等于光速，我们看到的地球是什么形状？为什么？
答：飞行速度为二分之一光速时地球是椭圆，因为前进方向长度收缩；宇宙飞船的速度等于光速时地球是一个没有厚度的圆盘，因为前进方向没有长度了。
4．一个物体在持续的外力作用下，它的速度是不是可以无限制地增加？为什么？
答：不会无限增加，因为随着速度增加，物体质量即惯性就越来越大，速度极限是光速，但永远达不到光速。 二、综合题
1．一艘宇宙飞船以v?0.6c的速度从地球上静止的观察者面前飞过，假设飞船上安装有一个边长为1m的立方体，则该观察者看到的物体形状是什么？边长为多少？
解：地球上的观察者看到这个物体的形状是长方体，在前进方向看到的长度为
l?l02v2（0.6c）1-2?1m?1-?0.8m 2cc在其他方向，长度仍为1m。
2．如果通过外力作用使质子的速度从v1?1.0?107m/s增加到
v2?2.0?108m/s，外力对它作的功是多少？(质子静止质量mp?1.67?10-27kg)
解：质子速度为v1?1.0?107m/s时总能量为：
E1?mpc2v121-2c?1.67?10-27kg?(3?108m/s)2(1.0?107m/s)21-(3?108m/s)2?1.502?10-10J
质子速度为v2?2.0?108m/s时总能量为：
E2?mpc22v211-2c?1.67?10-27kg?(3?108m/s)2(2.0?108m/s)21-(3?108m/s)2?2.016?10-10J
则施加外力使质子的速度从v1?1.0?107m/s增加到v2?2.0?108m/s外力必须对它作的功为
W?E2-E1?2.016?10-10J?1.502?10-10J?5.14?10-11J
3．（答案有差异） 半人马星座?星是距离太阳系最近的恒星，它到地球的距离是4.3?1016m.假设一宇宙飞船从地球飞到?星，飞船相对于地球的速度为
v?0.99c。以地球上的时钟计算，飞船需要用多少年时间才能到达该星？以飞
船上的时钟计算，飞船又需多少年时间？
解：以地球上的时钟计算，需要的时间为
l4.3?1016m8t1???1.44781145?10s?4.59098年即1676天 8v0.99?3?10m/s如果以飞船为参考系，地球到?星的距离变为
l?l02v2（0.99c）16151-2?4.3?10m?1-?6.066?10m 2cc则以飞船上的时钟计算，需要的时间为
6.066?1015m7t1??2.04242424?10s?236.3天?0.647年 80.99?3?10m/s思考题
思考题3-1: 在物理学发展的过程中，为了纪念物理学家们的贡献，往往以他们的名字来命名他们提出的理论或获得的结论。但是，为什么狭义相对论中的时空坐标变换不称为爱因斯坦变换，而是洛仑兹变换呢？
参考答案：虽然狭义相对论的根本理论是爱因斯坦全面提出来的，但是在狭义相对论出现之前，经典力学无法解释迈克尔孙实验结果，洛仑兹提出了一套坐
标变换公式，可以很好地解释迈克尔孙实验结果，但洛仑兹只是站在经典力学修修补补的角度，没有意识到这个变换公式所蕴含的深刻的物理实质。在爱因斯坦提出狭义相对论之后，发现洛仑兹的坐标变换公式是狭义相对论的自然推论，后人为了纪念洛仑兹，就将狭义相对论的坐标变换公式称为洛仑兹变换。 思考题3-2 按照狭义相对论的结果，一名身高1.8m的胖人以接近光速做水平运动时，地面的观察者看到他的身材和身高将会怎样变化? 人们是否可以利用这种变化呢?
参考答案：身高1.8m的胖人以接近光速作水平运动时，地面上的人看到他的身高没有变化，但身体将变得非常苗条；现代社会的人类很欣赏苗条的身材，但相对论引起的身体苗条，人们无法利用，因为对于运动的这个人自己来讲，他并没有变得苗条。
思考题3-3 如果将一对双胞胎兄弟中的一个送去做星际旅行，他乘坐的飞船以近光速运行，并在地球时间60年后返回地球，如图片3-6所示。请问：双胞胎兄弟的年龄是一样吗？会出现一个是老人一个还是孩子的情况吗？为什么？
参考答案：双胞胎再次相遇以后，他们的年龄将不一样；会出现一个是老人另一个是孩子的情况；因为根据相对论的结论，高速运动的坐标系中的时钟会变慢，60年后返回地球的这个兄弟会感觉他经历的时间远远小于60年。
图示3-6 双胞胎佯缪 科学问题的解析
核能与核武器
核武器是指利用核裂变或聚变反应释放的巨大能量而产生爆炸作用，并具有大规模杀伤破坏力的武器的总称。例如原子弹、氢弹、中子弹等，如图片3-12所示。
美国于1945年8月6日和9日先后在日本的广岛和长崎投下了两颗原子弹，显示了原子弹空前的杀伤力和破坏力。现在核武器杀伤力
图片3-12原子弹爆炸
更强,一旦发生战争,全球的各种核武器足以毁灭整个世界,因此这样的“核战争”中没有赢家，只要自我毁灭。 请分析：
1. 爱因斯坦发现了质能关系，但他绝对没想到核能会被用来做成原子弹.如何客观地看待这一事实？
2. 面对核武器可能给人类的巨大伤害，人们应该做些什么？ 3. 为了更好地、合理地利用核能，人类可以开辟哪些新的途径？ 参考答案：1.科学本无所谓“好与坏”、“对与错”，但科学研究的结果却让人们不断地挑战自己的是非观念，人们只有客观、科学地去审视这个世界上发生的一切，知道“什么可为”而“什么不可为”，合理而有效的利用科学为人类造福。
2. 在当今社会，其实核武器最大的作用已经不是作为战争的利器,而是作为一个威慑他国的战略性武器，不能轻易使用。人类最好停止核武器的研制,建立一个和平的世界。
3. 核能的和平利用: 核能发电。
第四章 气体动理论
习题解答
一、分析题：
1．根据气体压强公式分析：为什么不能将密封瓶罐装的食物和带壳的生鸡蛋放在微波炉中加热？
答：加热封闭罐装食物或带壳生鸡蛋后，温度升高，气体分子动能增加，会导致内部压强过大而发生爆炸。
2． 假设空气中水分子的速率类似麦克斯韦速率分布律，试分析夏季多雨的的原因？
答：当温度升高后，水分子速率分布曲线的峰值右移，平均速度增大，导致能够逃逸的水分子增多，从而容易形成云和雨。 二、综合题
1. 最好的真空实验室具有1.00?10?13Pa的压强。当温度为25℃时，在这样的实验室中每立方米有多少气体分子？
解：根据理想气体压强公式
p?2n?k 3理想气体温度公式
?k?可得
3kT 2p?nkT
因此实验室中每立方米气体分子个数为
p1.0?10?13 n??kT1.38?10?23?(25?273.15)?2.43?107m?3
2．汽车轮胎体积为1.60?10?2m3，当温度为0?C时，轮胎内空气的压强为
2.6?105Pa；当温度上升至25?C时，轮胎的体积增加到1.65?10?2m3，此时轮胎
内空气的压强为多少？
解：根据玻—马定律pV?C 和查理定律
pV?C Tp?C可得 T（设0℃气体压强为p0、体积为V0、温度为T0，25℃度时压强为p1、体积为V1，温度为T1） 则：
p0V0p1V1? T0T1p0V0T12.6?105?1.6?(273.15?25) 即：p1= ?Pa ?2T0V1273.15?1.65?10?2.75?105Pa
3． 金星大气层顶部附近的温度是240K，（1）试计算金星大气层顶部氢气和二氧化碳的方均根速率；（2）研究发现，当气体分子方均根速率超过星球上逃逸速度的16时，气体将逃逸出大气层并进入外层空间，如果金星上的逃逸速度
是10.3km/s，那么氢气和二氧化碳气体能逃逸出来吗？
解（1）氢气分子和二氧化碳分子的方均根速率为 氢气：
vrms?3?8.31?2403RTm/s?1.72km/s =?32?10MH22二氧化碳：
vrms?3RT3?8.31?240m/s?0.35km/s=?344?10MCO2
（2）金星上逃逸速度的1/6是1.72km/s，因此氢气可以逃出，而二氧化碳不能逃逸出金星。
科学问题的解析
礁湖星云的压强
礁湖星云是宇宙中位于人马座的发射星云(图片4-5)。发射星云是气体星云的一种,它们形状不规则，往往没有明晰的边界，又称弥漫发射星云。在这些星云中间通常有一个或一团高温恒星。来自高温恒星的紫外辐射使星云内的气体激发，产生光致电离而形成星云的发射光谱，所以被称为发射星云。礁湖星云距离地球5000光年，
图片4-5礁湖星云
直径约为45光年。在由110个明亮天体组成的梅西叶星表中名列第8，简称M8，在星云和星团的新总表中排名6523，又称NGC6523。
礁湖星云的主要成分是氢气，星云内部的高温恒星，使整个礁湖星云的温度高达7500K，恒星发出的紫外线使星云内的氢气电离，整个星云发出耀眼的光芒。此外，礁湖星云非常的稀薄，每立方厘米内只有约80个分子. 请分析：
1． 根据气体压强的计算方法，礁湖星云中气体的压强是多少？该压强对星云意味着什么？
2．在科幻影片中常出现飞船通过某个星云的场景，人们看见飞船剧烈颠簸。假设飞船穿过的是礁湖星云，星云气体的气流能引起的飞船颠簸吗？并阐明原因。
参考答案：1．根据气体压强的计算
P?nkT?80?23?12?1.38?10?7500Pa?8.28?10Pa ?61?10说明星云里的物质密度是很低的，若以地球上的标准来衡量的话，可视为真空。
2．不会出现。因为压强太低，不足以引起飞船颠簸。
第五章 热力学基础
习题解答
一、分析题：
1．在体积不变的情况下，一定量理想气体的温度从25?C升高到50?C，那么气体压强是否也增加到原先的2倍？为什么？
答：否。根据式pV?μRT，T为绝对温度，25℃和50℃的绝对温度为298.15K和323.15K，因此在体积不变的情况下气体压强并未增加到原来的2倍。
2．设分子只有转动，一定量的双原子分子的理想气体在等体过程和等压过程中都以热量形式损失了能量Q，在哪一个过程中气体内能减少的更多？
答：等体过程。在等体过程中损失的能量Q全部来自于内能的减少，而在等压过程中损失的能量Q一部分来自于内能减少，另一部分来自于气体对外做的负功，因此在等体过程中内能减少更多。
3．是否可以制成一部热机，它能在水的沸点和冰点间工作，且效率达70%，为什么？
答：不能。在水的沸点和冰点间工作的卡诺热机的效率为26.8%，因此，根
据卡诺定理，在水的沸点和冰点间工作的热机效率达不到70%。
4．把封闭在一个绝热气缸中的气体，压缩到它体积的一半。在这个过程中，气体的熵是增加、减小还是不变？
答：不变。根据熵的定义，在封闭的绝热气缸中气体体积减小的过程中吸收的热量为0，因此气体的熵不变。
5．如果你将厨房的冰箱门打开几个小时，厨房的温度是升高、降低还是不变？假设厨房是封闭的。
答：升高。在封闭的厨房中冰箱消耗的电能以热量的形式传递到厨房中，所以厨房的温度升高。 三、综合题
1．1mol理想气体经历一个等温膨胀过程，请用初始状态和末状态的体积及温度来表示气体吸收的热量。
解: 设初状态体积为V1，温度为T，末状态体积为V2，温度为T. 根据热力学第一定律
(dQ)T?dW?pdV
由式（5-1）可得气体吸收的热量为
QT?W??RTV1V2VdV?RTln2VV1
2．当理想气体吸收30J的热量时，气体的体积从40cm3变化到140cm3，压强保持在1个大气压不变。试求气体内能的改变量。
解: 根据热力学第一定律在等压过程中
?E?Q?P?V?30J?1?105?100?10?6J?20J
3．在恒定压强下，初始温度为25℃时,加热1mol氮气，使其体积增加到原来的两倍，气体吸收了多少热量（分子只要转动）？
解：根据物态方程pV?μRT可得
μRT （1） VpΔV （2） ΔT?uRp?根据热力学第一定律可得
Q?ΔE?pΔV?iRΔT?pΔV （3） 2将（1），（2）代入（3）式可得
Q?2?RT?1?8.31?(25?273.15)J?4.95?103J
4．如习题图5-1(a)所示，一个热力学系统从初态A变化到另一状态B，再经过状态C又回到状态A。（1）填写习题图5-1(b)表中每一个热力学量的+或-；（2）计算整个循环过程中系统作的功。
20C A→B Q + + — W + 0 — ΔE + + — 压强 P（Pa）1510ABB→C C→A 500.51.01.52.0体积 V(m3)
解:（1）AB过程：此过程为等压过程气体体积增加，气体对外做正功W?0,温度升高，内能增加?E?0，故根据热力学第一定律气体吸收Q?0。
BC过程：此过程为等体积过程，压强增加，温度升高，气体对外做功为0，内能增加即E?0，故根据热力学第一定律吸收热量Q?0。
CA过程：在此过程中气体体积减小，对外做负功W?0，温度降低E?0，故根据热力学第一定律气体放出热量Q?0。
（2）整个循环过程中对系统外做的净功应等于循环曲线所包围的面积
11W??(pC?pA)(VB?VA)???10?1J??5J
225．一卡诺热机在温度为1000K和300K两个热源之间工作，如果（1）将高温热源T1提高到1100K；（2）将低温热源温度降低到T2?200K，求两种方案下的热机的效率，并分析在实际应用中哪一种方案更好.
解：根据卡诺热机的循环效率，可得此热机的效率：
?0?1?T2300?1??70% T11000（1）若高温热源提高到1100K，热机效率为：
?1?1?T1300?1??73% T21100（2） 若将低温热源降低到200K，热机的效率为
?2?1?T2200?1??80% T11000从上述结果中可以看出?2??1，因此在实际应用中采取第二种方法好。
工程问题解析
陶瓷内燃机
内燃机是将液体或气体燃料与空气混合后，直接输入汽缸内部的高压燃烧室燃烧后产生动力的装置。内燃机具有体积小、质量小、热效率高、启动性能好的特点。在飞机、机车、船舶、汽车、拖拉机和工程机械等中有着广泛的应用。
对于内燃机而言，高的热机效率，是其关键性的指标。为了提高其效率，有人将陶瓷材料用于制作内燃机的外壳。如图片5-10所示。因为陶瓷材料(如氮化硅和碳化硅陶瓷)具有较高的高温强度、耐蚀性和耐磨性，可
图片5-10 氮化硅陶瓷材料
氮化硅陶瓷材料 以将工作温度提高到1300C，
比目前通用的内燃机的工作温度高出300?C左右，使发动机效率提高30%左右。 因此，用陶瓷材料来制造发动机已成为当前世界各国汽车行业重点研发的目标。 请分析：
1．陶瓷材料用于发动机为什么可以提高工作温度？
2．假设发动机的工作过程是由两个等体过程和两个绝热过程组成的循环，试计算陶瓷内燃机和普通镍基耐热合金制成的内燃机的效率，并对比其结果？
参考答案：1．陶瓷材料的热传导性比金属材料低，具有良好的绝热性能，使发动机的热量不易散发，从而提高工作温度。
?2．由??1-TT低27?273（低温热源为27?C）可知?陶瓷?1-低?1-?80.9%T高1300?273T高?1-27?273?76.4%。相比较而言陶瓷发动机的效率高于普通
1000?273和?普通?1-T低T高镍基耐热合金制成的内燃机的效率。
第六章 量子物理
习题解答
一、分析题：
1．请判断下面关于光电效应的说法的正误。（A）入射光强度越大，截止频率越高；（B）靶材料的逸出功越大，截止频率越高；（C）入射光的频率越高，被打出电子的最大动能就越大。
答：（A）错误；（B）正确；（C）正确。 根据光电效应方程h??1Wmv2?W，可知截止频率?0?与入射光强度无
h2关；靶材料的逸出功越大，截止频率越高；入射光的频率越高，被打出电子的最大动能就越大。
2．用一定频率的光照射金属板，哪一项决定电子是否逸出。（A）光的强度；（B）光照时间；（C）板的面积；（D）板的材料。
答：（D）
根据光电效应方程h??关。
3．光子A具有的能量为光子B的两倍,试问：（1）光子A的动量是光子B动量的多少倍；（2）光子A的波长是光子B波长的多少倍。
答：光子所具有的能量E?hv?1Wmv2?W，可知截止频率?0?只与板的材料有
h2hc，光子所具有的动量为λp?mc?hc。由于EA?2EB，故光子A的动量是光子B的动量的2倍，光子λA的波长是光子B的波长的1/2。
4．电子和质子具有相同的动能，请问哪个的德布罗意波长较大？ 答：电子和质子具有相同的动能Ek1?Ek2，故电子和质子的动量为
p1?2m1Ek1，p2?2m2Ek2。
又由于物质的德布罗意波λ?波长。 二、综合题
1．钾的逸出功为2.25eV，请问：可以使钾产生光电效应的入射光的最大波长。
h，且pp2?p1，所以电子波长大于质子
w解：根据光电效应的截止频率v0?，可得
h
w?hv0?hc ?因此可以使钾产生光电效应的入射光的最大波长为
hc6.63?10?34?3?108?7λ??m?5.525?10m?552.5nm
w2.25?1.6?10?192．在普通电视机内，电子被电势差为30.0kV的电场加速，请计算这种电子的德布罗意波长。
解: 电子被加速后所具有的动能为：
Ek?1mv2?30.0?103?1.6?10?19J?4.8?10?15J 26.63?10?342?9.1?10?31?4.8?10?15电子的德布罗意波长：
h???ph?2meEkm?7.2?10?12m
3. 一辆1200kg的汽车，通过精确测量测得，其质心沿某直线方向的位置不确定度为1μm。（1）请计算汽车沿某直线方向速度的不确定度；（2）不确定关系是不是使人、汽车、飞机等普通物体的位置和速度不能被同时测量呢？为什么？
解：（1）由（6-11）可得电子动量不确定度为：
h6.63?10?34?28ΔPx??kg?ms?6.63?10kg?ms ?6Δx1?10故汽车速度不确定度为：Δvx?ΔPx?5.5?10?31ms m（2）不是。人、汽车、飞机等普通物体为宏观物体，而对于宏观物体的位置和速度的不确定度可以忽略。
工程问题解析
太阳能电池
太阳能是一种清洁的可再生能源，主要利用太阳的辐射能量，是未来人类所需能源的主要来源之一。太阳能电池是通过光电效应或者光化学效应把太阳能转化成电能的装置，如图片6- 20所示。太阳能电池发电是一种可再生的环保发电方式，发电过程中不会产生二氧化碳等温室气体，不会对环境造成污染。目
前,常用太
阳能电池是以光电效应为工作原理，它的基本结构是半导体的pn结，其内部结构如图6- 5所示。太阳光照在半导体pn结上时，光子激发出中性区的电子，大大增加了电子-空穴对，在pn结电场的作用下，空穴由n区流向p区，电子由p区流向n区，形成电流。这就是光电效应太阳能电池的工作原理。
图6-5 pn结内部结构图
图片6- 20 太阳能电池
请分析：
1．太阳能电池产生电能的条件。
2．提高太阳能电池光电转换效率的途径与方法。
参考答案：1．当光线照射太阳能电池表面时，电池材料吸收一部分光子；
光子的能量传递给原子，使原子外层电子发生跃迁成为自由电子,并在PN结两侧集聚形成电势差；当外部接通电路时，在该电压的作用下，将会有电流流过外部电路产生一定的输出功率。因此太阳能电池产生电能的条件是：入射光的频率应不小于PN结中性区电子跃迁的临界频率。
2．提高太阳能电池光电转换效率的途径与方法（1）提高入射光的频率；（2）研发新材料，降低电子的逸出功。
第七章 静电场
习题解答
一.分析题
1. 如果在静电场中作一封闭曲面，曲面内没有净电荷，下面说法哪个正确。 (A) 通过封闭曲面的电场强度通量一定为0，场强一定为0；(B) 通过封闭曲面的电场强度通量不一定为0，场强一定为0；(C) 通过封闭曲面的电场强度通量一定为0，场强不一定为0；(D) 通过封闭曲面的电场强度通量不一定为0，场强不一定为0。
答：(C)
根据高斯定理: ?E?dS?S11?0?qsi,曲面的电场强度通量只与曲面内的电荷
有关,曲面上任意一点的电场强度与曲面内外的电荷都有关系.当曲面内没有静电荷时,曲面的电场强度通量一定为0,但是曲面外部不一定没有电荷,所以曲面上的电场强度不一定为0。
2. 如习题图7-1所示，点电荷Q被曲面S所包围，曲面外有两个点电荷电量均为q，现将其中一个q移入曲面内，下面说法哪个正确。 (A) 曲面S的电场强度通量不变，曲面上各点场强变化；(B) 曲面S的电场强度通量变化，曲面上各点场强不变；(C) 曲面S的电场强度通量变化，曲面上各点场强变化；(D) 曲面S的电场强度通量不变，曲面上各点场强不变。
习题图7-1 QS q q 答：(C)
根据高斯定理: ?E?dS?S11?0?qsi,曲面的电场强度通量只与曲面内的电荷
有关,曲面上任意一点的电场强度与曲面内外的电荷都有关系.所以当一个点电荷从曲面外移近取面内后,曲面的通量要发生变化,曲面上的电场强度与电荷的位置有关,所以曲面上的电场强度也要发生变化。
3.关于电场线，以下说法哪个正确。 (A) 电场线上各点的电场强度大小相等；(B) 电场线是一条曲线，曲线上的每一点的切线方向都与该点的电场强度方向平行；(C) 匀强电场中开始处于静止的电荷，在电场力的作用下运动的轨迹必与一条电场线重合；(D) 在无电荷的电场空间，电场线可以相交。
答：(C)
电场线上任意点的切线方向为该点处电场强度的方向；电场线密度表针该点处电场强度的大小；电场为有源场,任意电场线不相交；在均匀场中,电场强度处处相等；电荷在均匀电场中静止开始运动,其运动轨迹必沿与一条电场线运动。
4．如习题图7-2所示，点电荷?q位于圆心O处，A、B、C为同一圆周上的三点。现将试验电荷从A点分别移动到B，C点，则从A点到C点电场力做功最大。请分析是否正确。
答：错误。
点电荷在空间产生的电场成球对称分布，A、B、C三点离点电荷的距离相等，所以试探电荷在三点的
电势相等，从而将一试验电荷从A点分别移动到B和C点，电场力做功都为0。
5．如习题图7-3所示，在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体B内，放置一带有?Q电荷的导体A，A -q A O B C 习题图7-2 则空腔导体B的内表面不带电。请分析是否正确。 答：错误。
根据静电感应，当导体达到静电平衡时，导体内部电场强度处处为0，根据高斯定理，导体内表面所带电荷与空腔导体包围的电荷代数和为0，所以内表面带-Q的电量。
+Q B 习题图7-3
三、综合题
1．如习题图7-4，三个点电荷分别分布在x,y轴上。 (1) 分析各点电荷在O点产生电场强度的方向；(2) 写出各点电荷在O点产生的电场强度的大小；(3) 计算O点的电场强度大小；(4) 计算O点电势的大小。
解：(1) (0,a)处点电荷在O点产生的电场方向从O点指向y轴正向；
(0,-a)处点电荷在O点产生的电场方向从O点指向y轴负向；
(2a,0)处点电荷在O点产生的电场方向从O点指向x轴正向。?? (2) Ea?a?2Q?QyO2ax?a?2Q习题图7-4 QQQ； E?a?； E2a?
2π?0a216π?0a22π?0a2 (3) E?Ea?E?a?E2a
Ey?Ea?E?a?0
Ex?E2a?Q16π?0a2
Q E?Ex?E2a?，从O点指向x轴正向
16π?0a2 (4) V??iqi?2Q?2Q?Q?9Q???? 4π?0ri4π?0a4π?0a8π?0a8π?0a2．如习题图7-5所示，有一半径为R的均匀带电球壳，所带电量为?2Q，在距O点2a处放有一电荷面密度为??的无限大带电平面，带电平面与x轴垂直。(1) 试画出距离球心距离为a的A点的电场强度
A ?2Q??xO?a?a习题图7-5 方向；(2) 请计算带电球壳在A点处产生的电场强度大小，并指出方向；(3) 请计算无限大带电平面在A点处产生的电场强度大小，并指出方向；(4) 请计算A
点处总的电场强度。
解：(1) A点电场强度方向为从A点指向x轴负向； (2) 由高斯定理得电球壳在A点处产生的电场强度大小
E1?2QQ?
4π?0a22π?0a2带电球壳在A处激发的电场的方向从A点指向x轴负向； (3) 无限大带电平面在A点处产生的电场强度大小为
E2?? 2?0无限大带电平面在A处激发的电场的方向从A点指向x轴负向； (4) 由场强叠加原理可知
E?E1?E2
由于方向相同，则
E?E1?E2?方向：从A点指向x轴负向。
?Q? 2?02π?0a2Q3．如习题图7-6所示，半径为R的均匀带电球体。电荷量为Q，电荷体密度为?。(1) 分析电荷对称性和电场分布情况，并画出电场线；(2) 利用高斯定理计算球内、外电场强度大小；(3) 试求球心处电势。
解：(1) 带电球体电荷分布具有球对称性，因此电场分布也具有球对称性；
(2) 按高斯定理
OR习题图7-6
?S1E?dS?E1S1???πr13?043(0?r1?R)
QROrS1r2 1?r1Qr1E??则 1
3?04π?0R3S2 ?S2E?dS?E2S2?Q?0(r2?R)
则 E2?Q
4π?0r22(3) 球心电势
?R?Qr1QQQ3Qdr?dr????R4π?0r228π?0R4π?0R8π?0R 4π?0R3U??E?dl??004．假如在一次闪电中，云与地之间的电势差为2.0?109V，在此过程中有50C的电荷被转移。请计算：（1）转移这些电荷会释放多少能量？（2）假如该闪电击中冰块，冰的融化热是3.33?105J/kg，则它将融化多少冰？
解:(1) 转移这些电荷会释放的能量为
11W?QU??50C?2.0?109V?5?1010J
22 (2) 融化冰的质量为
W5?1010J5m???1.5?10kg 5L3.33?10J/kg5．如习题图7-7所示，空间有两个均匀带电的无限大平行平面，面电荷密度分别为?、??。试求两个平面之间的电场强度。 解：正电荷在两个平面之间产生向右的电场强度，大小为：
????E1?
2?0? 2?0+? -? 习题图7-7 负电荷在两个平面之间产生向右的电场强度，大小为：
E2?两平面之间的电场强度大小为：
E?E1?E2?方向水平向右。
? ?06．离子推进器的工作原理为:先将气体电离，然后用电场力将电离产生的离子加速后喷出，以其反作用力推动火箭。这是目前最为经济的一种实用化的火箭
技术。如果用于产生电场的电压为U，火箭在单位时间内喷出了总质量为M的离子。 设单个离子的质量为m、电荷量为q。请计算（1）离子从火箭中喷出的的速率；（2）单位时间内火箭受到的平均推力的大小。
解：离子束中的离子是质量为m，电量为q正离子。根据牛顿第二定律有
mdv?qE dtdU dx由电场强度与电势的关系有
E??可得
mdEdvd(qU)????p dtdxdx1求解得：mv2?Ep?W0，其中W0是初始能量，数值为0；可以看出加速的过程
2是将电势能转换成了离子的动能。
v?2qU m由冲量定理的，单位时间推进力为
F?2MqUm'v?0? ?t?t7．如习题图7-8所示，电容器C1?8.0μF和C2?4.0μF串联后接到电压为120V的电路上，其中C2与开关K2串联，开关K1和K2是断开的．首先闭合开关Ｋ1给电容器C1充电，充电完成后，断开K1，闭合K2．请计算：(1)只闭合开关Ｋ1后，电容器C1中储存的能量；(2) 断开K1，闭合K2后，两电容器中储存的能量之和。
解：(1) 只闭合开关Ｋ1后，电容器C1正极板上电荷为：
C2K2C1Q0?C1V0?8.0μC?120V?960μC此时电容器C1储存的电量为：
dy dx?习题图7-8 K111E1?Q0V0??960?10?6C?120V?0.058J
22（2）断开K1，闭合K2后，两电容器正极板所带电量之和为960μC，此时等效电容为
C?C1?C2?8.0μF?4.0μF?12.0μF
则电路中的电压为
V?Q0960μC??80V
C1?C28.0μF?4.0μF两电容器中储存的总能量为
1111E?C1V2?C2V2??8.0?10?6F?(80V)2+?4.0?10?6F?(80V)2?0.0384J
2222和电容器C1储存的电量相比较少了，减少的部分被电容器以热量消耗了。
思考题
思考题7-1 人们在日常生活中，由于与其他物体的接触往往会带静电，由此在人与人、人与物体之间会产生电势差，电势差的存在又有可能引起瞬间放电。请分析在脱衣服、滑滑梯、汽车加油这些生活场景中存在的电势差，这些电势差有多大？可能造成什么样的危害呢？
参考答案：在人脱衣服时，衣服和衣服之间摩擦起电，电荷大量累计，使人和电脑间存在很大的电势差，急剧放电时，会烧毁电脑的主板；孩子在滑滑梯时，摩擦起电，在孩子身上累计大量的电荷，孩子和接应的人之间形成很大的电势差，瞬间放电会烧伤孩子的皮肤；汽车加油如果不熄火，油缸抖动会让油和油缸之间摩擦起电，形成很大的电势差，瞬间放电使汽油燃烧，汽车着火。 思考题7-2 在高压设备中的金属部件使用什么外形更好？为什么？
参考答案：根据静电感应，感应电荷分布和曲率半径成反比，使空间电场分布也和曲率半径成反比，因此曲率半径越小的地方电场越大，容易产生尖端放电，所以在高压设备中，金属部件最好使用圆形，这样可以减少尖端放电，避免高压设备的损坏。
工程问题解析
等离子显示器
如图片7-14所示的等离子显示器（PDP）是利用气体放电的显示技术，它是继阴极射线管(CRT)、液晶显示器(LCD)后的新一代显示器,其工作原理类似普通日光灯,它是由各个独立的荧光粉像素发光组合而成,每个像素由3个玻璃气室组成，大量的玻璃气室组成了显示阵列。
每个像素的3个玻璃气室均装有惰性气体，且3个气室分别涂有红色荧光粉、绿色荧光粉和蓝色荧光粉。在驱动电路的控制下,给每个气室加上高电压，使气室中的惰性气体分子发生电离，从而形成等离子体；等离子体在电压的作用下达到激发态,然后将向低态跃迁,导致其发射出紫外线，紫外线再激发玻璃气室里的荧光粉，使荧光粉发光,实现等离子成像。 请分析
1．试阐明PDP工作原理。
2．由CRT到LCD,再到PDP,然后到现在的LED(发光二极管)，电视机发展的物理基础是什么?
3．请设想未来电视机的发展方向。
参考答案：1．PDP为等离子显示器，其工作原理类似于普通日光灯，它由几个独立的发光像素组合而成，每个像素由3个玻璃气室组成，大量的玻璃气室组成一个显示阵列.玻璃气室均装了惰性气体，通过给气室加高压电，使惰性气体电离，形成等离子体；等离子体在高压下达到激发态，然后从高能级跃迁到低能级，发出紫外线，紫外线激发荧光粉发光。
2．显示器在不断升级，这主要是人们对电的认识不断完善，使电工技术得到发展。
3．未来的电视机显示器，可以能在低压条件下工作，节能的同时对视力有保护作用。
图片7-14 PDP电视 第八章 稳恒磁场
习题解答
一.分析题
??1. 对于磁感应强度B，下列说法是否正确。（1）磁感应强度B是反映磁场?某点性质的物理量，磁场中任意一点都有一特定方向是B的指向；（2）在磁场中?一条给定的磁感线上，各点B的大小相同，方向分别沿磁感线方向；（3）公式????????F?Idl?B和F?qv?B中，F与B始终垂直。
答：(1)对；(2)错；(3)对
2. 如习题图8-1所示,在真空中一电流强度为I的电流由长直导线1沿半径方向经a点流入一由电阻均匀的导线构成的半径为R的圆环，再由b点沿切向从圆环流出，经
a 1 O b 2 长直导线2返回电源，a、b两点和圆心o在同一直线上．
?请分析（1）长直导线1在圆环中心o处的磁感强度B的大小；（2）长直导线2
??oo在圆环中心处的磁感强度B的大小；（3）圆环中心处的磁感强度B的大小和方向。
答：(1) B1?0；(2)B2?纸面向外。
3. 如习题图8-2所示，有一半径为a的圆圈电流I1和一边长为a载流的正方形线圈电流I2.
?0I4πR；（3）因为B3?0，所以B?B2??0I4πR，垂直
a O1 I1 a O2 I2 习题图8-2
o2处的磁感强度大小若要使两个线圈的中心o1、
相等，请问电流I1与电流I2的比值为多少?
答：B1??0I12a
B2?4??0I24π?a2(cos45??cos135?)?22?0I2， πa因为B1?B2，所以
I142 ?I2π4. 置于磁场中的磁介质，表面会形成磁化电流，请分析该磁化电流能否产生焦耳热？并说明原因。
答：不能，因为磁化电流不是传导电流。
5. 在工厂里搬运热钢锭时,能不能用电磁铁起重机?请说明原因。 答：不能，电磁起重机是利用线圈中的交变电流产生磁场来吸引起钢锭的，如果用热钢锭，会损坏线圈，导致不能产生磁场。 三、综合题：
1．无限长直导线通有50A电流，在离导线5.0cm处有一电子以速度
1.0?107m?s?1运动。试求下列情况电子受到的洛伦兹力：（1）当电子的速度平行
于导线时 ；（2）当电子的速度垂直指向于导线时；（3） 当电子的速度垂直于导线和电子构成的平面时。
解:因为通电直导线周围磁感应强度大小为
B??0I 2?r则电子在磁场中运动受到的洛伦兹力为
??Fm?qv?B?qvBsin? （1）??90?时
?0I4??10?7?50??197?16Fm?qvBsin??qvsin90?1.6?10?1.0?10?N?3.2?10N?22?r2??5.0?10
（2）??90?时
?0I4??10?7?50??197?16Fm?qvBsin??qvsin90?1.6?10?1.0?10?N?3.2?10N?22?r2??5.0?10? （3）??0时
Fm?qvBsin??qv?0Isin0??0N 2?r2．通有电流1.5A、长为30cm的直导线被放置在磁感应强度为8.0?10?2T的匀强磁场中，磁场方向与导线成300角，试求导线所受的作用力。
解:因为匀强磁场中直导线所受的作用力
Fm?BILsin?
所以导线所受的作用力为
Fm?BILsin??8.0?10?2?1.5?0.3?sin30?N?1.8?10?2N
3． 如习题图8-3所示，一绝缘“无限长”直导线，载有电流I，并在其中部绕一半径为R的圆圈．试求：（1）直导线和圆圈两部分电流在o点产生的磁感强度；（2）圆心o点处的磁感强度是多少？
?解:（1）直载流导线在圆心O点产生的磁感强度为B1 ?B1大小为
IORI习题图8-3 B1??B1方向垂直纸面向外；
?0I2πR
?圆线圈电流在圆心O点产生的磁感强度为B2 ?B2大小
B2??B2方向垂直纸面向外；
?0I2R
?（2）圆心O点处的磁感强度为B ?B大小
B?B1?B2??0I(π?1)
2?R?B方向垂直纸面向外。
4． 传统的电视机利用显象管里的电子枪发射电子束，这些电子束击中彩色显像管的荧光屏后形成彩色图像。如果在电视显像管里，电子枪每秒可发射
5.6?1014个电子．电子束可看作长直电流，请计算：在电子束周围距电子束轴线
1.5mm处，电子束产生的磁感应强度。
解: 因为电子束形成的电流为
I?ne?5.6?1014s?1?1.6?10?19c?8.96?10-5A
所以电子束产生的磁感应强度大小为
4π?10?7T?m?A?1?8.96?10-5AB???1.20?10?8T ?3?0I2πr2π?1.5?10m5．如习题图8-4所示，在通有电流I?0.50A的无限长直载流导线的右侧，放置了两个面积为S1和S2的矩形回路，两个回路的长为l?0.20m，宽分别为a、2a（a?0.10m），矩形回路的一边与长直载流导线平行，两者在同一平面.请计算（1）通过矩形回路S1的磁通量是多少？（2）通过矩形S2的磁通量是多少？（3）通过回路S1和S2的磁通量之比是多少？
解: 无限长直载流导线周围磁感应强度大小为
B??0I2πx
在距离直导线x处取宽度为dx的小矩形，其磁通量为
???B??d?s???0I2πxldx
（1）通过矩形回路S1的磁通量为
?IIl2a1??2a?0a2πxldx??02πlna ?4π?10?7T?m?A?1?0.50A?0.20m2πln2
?1.74?10?8T?m-2
（2）通过矩形S2的磁通量为
?a?0I2??42a2πxldx??0Ila2πln42a ?4π?10?7T?m?A?1?0.50A?0.20m2πln2
?1.74?10?8T?m-2
（3）通过回路S1和S2的磁通量之比为
?1??1 2 I S1 S2 a a 2a 习题图8-4
6．一铜片厚度d?2.0?10?3m，放在B?3.0T的匀强磁场中，已知磁场方向与铜片表面垂直，铜的载流子密度n?8.4?1028m-3，当铜片中通有与磁场方向垂直的电流I?200A 时，求（1）铜片两端的霍尔电势为多少?（2）铜片的霍尔系数为多少?
解:（1）铜片两端的霍尔电势为
UH?1IB? ned?200A?3.0T
8.4?1028m-3?1.6?10?19c?2.0?10?3m?2.23?10?5V
（2）铜片的霍尔系数为
RH??1 ne1
8.4?1028m-3?1.6?10?19c?7.43?10?11m3/c
7．将一个边长为a?0.2m,匝数N?50匝，通过电流为2A的正方形线圈放在磁感应强度B?0.05T的均匀磁场中,(1) 线圈处于什么方位时受到的磁力矩最大?大小是多少；（2）线圈处于什么方位时受到的磁力矩最小?大小是多少；（3）线圈由磁力矩最大方位转到磁力矩最小的方位这个过程中，磁力矩做的功大小是多少？是正功还是负功。
解:（1）因为磁力矩为
???M?m?B
??所以B?en时，磁力矩最大，大小是
M?NISBsin90??50?2A?(0.2m)2?0.05T?0.2N?m
??（2）B//en时，磁力矩最小，大小是
M?NISBsin0??0
（3）线圈由磁力矩最大方位转到磁力矩最小的方位这个过程中，磁力矩做的功大小为
W???Md????Bmsin?d????0.2sin?d??0.2J
9090900?0000是正功。
8. 一螺线管长l?10cm，匝数N?200，电流I?100mA。求：（１）管内为真空时的磁感应强度；（2）管内充满相对磁导率?r?4200的磁介质时的磁感应强度。
解: （1）管内为真空时的磁感应强度大小是
B0??0nI??0NI l200?100?10?3A 0.1m?4π?10?7T?m?A?1??2.51?10?4T
（2））管内充满相对磁导率?r?4200的磁介质时的磁感应强度大小是
B??rB0
?4200?2.51?10?4T
?1.06T
思考题
思考题8-1当空间有两条平行的载流直导线时，人们发现，导线之间存在着相互作用，两电流同向时，出现相互吸引的现象，两电流反向时，则出现相互排斥的现象。为什么两电流会出现如此的相互作用呢？
参考答案：这源于磁场对电流的作用。两电流同向时，载流导线产生的磁场对彼此的作用力指向对方，所以出现相互吸引的现象；两电流反向时，载流导线产生的磁场对彼此的作用力背离对方，则出现相互排斥的现象。
— —
— + + + —
+ 图8-23电流之间的相互作用
工程问题解析
巨磁阻效应及其应用
有些磁性材料的电阻率在有
图片8-10 巨磁头
外磁场作用时与没外磁场作用时相比，存在巨大变化，这种现象称为巨磁阻效应。1988年，费尔和格林贝格尔各自独立发现了“巨磁电阻”效应，共同获得2007年诺贝尔物理学奖。目前研究发现在磁性材料和非磁性材料相间的多层薄膜层可以出现巨磁阻效应。
随着信息技术发展对存储容量的要求不断提高，硬盘体积不断变小，容量不断变大时，磁盘上每一个被划分出来的独立区域越来越小，记录的磁信号也越来越弱，用一般磁性材料做成的磁头来检测这种微弱的磁信号变化得很困难。由于巨磁电阻材料具有在非常弱小的磁性变化中能显现显著的电阻变化，人们利用巨磁电阻材料制作出了读取弱磁信号的磁头，称为“巨磁头”， 如图片8-10所示。巨磁头的灵敏度极高，能够把非常弱的磁信号转换成清晰的电流变化，从而使计算机硬盘的容量有了很大的提高.目前，笔记本电脑、音乐播放器、数码相机等各类数码电子产品中所装备的硬盘，基本上都用“巨磁头”来读取信息。 二、请分析：
1、利用巨磁阻效应制造的磁头为什么能读出很弱的磁信号？
2、请利用巨磁阻效应材料，设计一个可以实现“通”“断”的装置，该装置可能在哪些地方有一定的应用。
参考答案：1、巨磁电阻材料具有非常弱小的磁性变化就能导致显著的电阻变化，人们制造出了用巨磁电阻材料制作的读取磁信号的磁头，称为“巨磁头”，其灵敏度极高，能够清晰读出较弱的磁信号，并且转换成清晰的电流变化，从而能清晰读出较弱的磁信号。
2、笔记本电脑、音乐播放器、数码相机等各类数码电子产品中所装备的硬盘，基本上都应用了“巨磁头” 。
第九章 电与磁的联系
习题解答
一. 分析题
1．一个人来到陌生的星球上，想利用一个灵敏电流计和一个线圈测量周围是否存在磁场，他应该怎样做？
答：将灵敏电流计与线圈连接，构成一个闭合回路。根据电磁感应定律，当改变闭合回路位置时，观察灵敏电流计的指针是否发生偏转可测量周围是否存在磁场。如果这个回路的周围存在磁场，当改变这个闭合回路的位置时，回路中有电流产生，灵敏电流计的指针将会偏转；反之，如果没有磁场存在，灵敏电流计的指针就不会偏转。
2．将条形磁铁沿着铜环的轴线插入时，铜环中有感应电流和感应电场吗？若用塑料圆环替代铜质圆环，结果会怎样？
答：变化的磁场要产生感生电场。当条形磁铁插入时，不管是铜环还是塑料圆环，都存在变化的磁场，因此都会产生感生电场。要形成感应电流，需要有可以自由移动的电荷。铜线内有自由电子，感生电场就会驱动电荷移动产生感应电流，塑料环内没有可以自由移动的电荷，就不会形成感应电流。
3．电风扇一般有几个档位，每档可产生不同的风速。扇叶不同的转速对应内部不同的电路，电路中串有一个电感线圈；改变电感线圈匝数可以调节电路的电流，达到改变扇叶转速的目的。请分析如何利用电感匝数的变化来改变电路的电流。
答：电风扇使用的是交流电，利用电感线圈来调节风速。电感线圈有几个抽头，不同的抽头对应线圈的匝数不同。电风扇的一个档位与电感线圈的一个抽头串联构成一个回路。当该回路通交流电后，电流的变化使电感线圈产生自感电动势，阻碍电流的变化。换挡时，回路与不同抽头串联，电感线圈的匝数变化，回路的自感电动势随线圈匝数的变化而变化，使回路中的电流变化，导致扇叶转速改变。
4．实验室中一般可以获得的强电场为1?106V/m左右，强磁场约为2.0T.请比较电场能量密度和磁场能量密度的大小，并分析哪种场更利于储存能量？
1B21(2.0T)2答：磁场的能量密度：?m????1.59?106J/m3 ?7?12?024π?10T?m?A11电场的能量密度：?e??E2??8.85?10?12F/m?(1?106V/m)2?4.42J/m3
22显然，磁场的能量密度远大于电场的能量密度，磁场更利于储存能量。 三、综合题
1．子弹速度的测量可以采用下述方法：在子弹的尖端上装一根细小的永久磁针，再让子弹连续通过两个相距为L的线圈，线圈中将产生两个时间间隔为?t的两个脉冲电流。（1）线圈中产生的感应电动势是动生电动势还是感生电动势？（2）由此测出子弹的速度是多少？
解：（1）两个线圈都没动，装在子弹尖端的磁针运动导致穿过线圈的磁通量发生变化而产生电动势，所以线圈中产生的感应电动势是感生电动势。 （2）在子弹的尖端上装一根细小的永久磁针，连续通过两个相距为L的线圈，测出在线圈中产生的两个脉冲电流的时间间隔?t，因为
L?v??t
所以可测出子弹的速度
v?L ?t2．海洋学家依靠水流通过地磁场所产生的电动势，来探测海洋中水的流动情况。设在某处地磁场的竖直分量为0.70?10?4T，两个电极垂直插入被测的水流中，相距200米，如果测得两电极之间的电势差为7.0?10?3V。请问：（1）产生的电动势是动生电动势还是感生电动势？（2）计算水流的速率。
解：（1）磁场没有发生变化，水作为导体在运动，因此产生的电动势为动生电动势。
（2）水作为导体在运动，产生的动生电动势为
??Blv