S（O）P S（O）P 15、P（A）M P（I）M （M）（A）（S） （M）（A）（S） SIP SIP 16、（P）（A）（M） SOM S（O）P 17、（M）E（P） MIS S（O）P
大前提中的P和M可以互换。 二十、
9、 不能。因为中项B在前提中一次也没有周延，没有满足规则1。
10、不能。因为有一个前提为否定，所以结论应为否定，大项B在结论中将周延，但它在前提
中并不周延。
11、因为如果结论是全称的，则小项在结论中周延，因此它在前提中也必须周延；如果中项周
延两次，则在前提的两个直言命题中将有三个位置是周延的，于是必有一个命题是否定的，而这又将导致结论是否定的，进而大项在结论也是周延的，而这意味着这两个命题都是否定的，因此它就不会是一个正确的三段论。
12、不能。因为中项B在前提中一次也没有周延，没有满足规则1。
13、这个三段论的大前提应该是A。因为中项在前提中须至少周延一次，而该三段论前提中只
有大前提中有一个词项周延，于是它只能是中项，这即是说大项和小项在前提中都不周延，因此它们在结论中也必是不周延的，故结论只能是特称肯定命题，因此大前提下应是肯定命题，而其中只有一个词项周延，故它应是全称肯定命题。
14、AOO式。因为大前提肯定，故谓项不周延，而大项在大前提中周延，因此大前提只能是A。
大项在结论中周延说明结论是否定命题，又小项在结论中不周延，因此结论应是O。于是前提中须有一个是否定命题，已知大前提是肯定命题，因此小前提应是否定命题，而小项在前提中不周延，因此小前提应是特称命题，故小前提是O。
15、这个三段论的大前提应是A。因为中项在前提中须至少周延一次，而该三段论前提中有一
个词项周延，于是它只能是中项，这就是说大项和小项在前提中都不周延，因此它们在结论中也必是不周延的，故结论只能是I，因此大前提应是肯定命题，而其中只有一个词项周延，故它应是A。
16、当大小前提都是A时，结论便可以为A。当大前提是E，小前提是A，结论便为E。当大
前提是A，小前提是I时，结论便为I。当大前提是E，小前提是I时，结论便为O。 17、该三段论属于第三格，有效。因为它遵守了三段论的基本规则。 10、该三段论的形式为：所有商品都有价值，
有劳动产品不是商品， 所以，有劳动产品没有价值。
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不正确，它犯了大项不当周延的错误。
11、不能必然推出“有B不是C”，否则将犯大项不当周延的错误。可以推出“有C不是B”，
这一形式完全遵守了三段论的基本规则。
12、它是第三格的OAO式。因为由大前提为O可知其结论也须为O，于是大项在结论中周延，
因此它在前提中也要周延，故大前提为MOP。再根据两个否定命题得不出结论以及两个特称命题得不出结论知小前提必为A，且中项在大前提中不周延，因此它在小前提中须周延，于是小前提是MAS。
13、不能。若一个三段论三个词项都周延两次，其只可能是EEE式，而这违反了规则3。 14、因为结论是否定命题，所以大项在结论中周延，于是大项在前提中也必须周延，而若大前
提是I，则大项在前提中就不可能周延，故大前提不能是I。
15、由大前提是肯定命题且大项在前提中周延知大前提为PAM，由小项在结论中不周延，大项
在结论中周延知结论为SOP，由以上两点知小前提必是O，且由于中项在大前提中没有周延，故其在小前提中须是谓项，于是小前提为SOM。 PAM、SOM、SOP 16、证明除第一格外其他三个格的特殊规则。
证明：第二格的特殊规则。大前提：P M 小前提：S M 结论：S P
（1）因为在第二格中中项在两个前提中都是做谓项，而肯定命题的谓项是不周延的，故第二格
的两个前提中必须有一个是否定的才能满足规则1。
（2）由（1）知前提之一是否定命题，据规则4得到结论也是否定命题，于是大项在结论中是
周延的，根据规则2得大项也应在前提中周延，而大前提在第二格中是做主项，故大前提是全称命题。
证明：第三格的特殊规则。大前提：M P 小前提： M S 结论：S P
（1）用反证法，假设小前提是否定命题，于是根据规则4，结论也应是否定命题，于是大项在
结论中周延，由此再根据规则2得大项在前提中也须是周延的，而大项在第三格的大前提中是做谓项，于是要使得大项在前提中周延，大前提必须也是否定命题，这样两个前提都是否定命题，违反了规则3，所以，假设不成立，第三格的小前提必须是肯定命题。 （2）由（1）证得小前提是肯定命题，而在第三格中小项在小前提中是做谓项，故小项在前提
中是不周延的，据规则2，它在结论中也不能周延，于是结论必须是特殊命题。 证明：第四格的特殊规则。大前提：P M 小前提：M S，结论：S P
（1）如果前提中有一个是否定命题，则据规则4，结论也应是否定命题，于是大项在结论中周
延，由此再据规则2得大项在前提中也须是周延的，而大项在第四格中的大前提中是做主项，于是大前提必须是全称命题。
（2）如果大前提是肯定命题，由于中项在大前提中谓项，于是中项在大前提中是不周延的，于
是由规则1得中项必须在小前提中周延，而中项在小前提中是做主项，于是小前提必须是全称命题。
（3）如果小前提是肯定命题，则由于小项在小前提中做谓项，于是小项在前提不周延，据规则
2得小项在结论中也不得周延，于是结论须是特称命题。 （4）由（1）和（2）立即可得到。
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（5）用反证法。假设结论是A。于是有①据规则4得到前提不可能有否定命题；②小面在结论
中周延，所以据规则2，小项在前提中也必须是周延的，由小项在第四格中的位置得到小前提必须是否定命题，这与①相矛盾。所以，假设不成立，第四格的结论不能是A。 二十一、
1、 证明：用反证法。假设其小前提是否定命题，于是结论也必须有为否定命题，这样大项在
结论中周延，由此大项在前提中也必须周延，由于已知大前提是特称命题，故大项若要在大前提中周延则大前提只能是O，这样两个前提都是否定命题，违反规则3。所以假设不成立，其小前提必须是肯定命题，再由两个特称命题得不出结论即知它还应是全称的。 2、 证明：根据规则5和规则3知，有且仅有一个前提是否定的，再根据7知前提应都是全称
的，因此前提之一是A，另一个为E。
3、 证明：根据规则4知，结论为否定，故大项在结论中周延，于是根据规则2得到大项在前
提中也要周延，但由于小前提已是否定，根据规则3知大前提应是肯定命题，而肯定命题的谓项是不周延的，因此为使得大项在大前提中周延它必须是A。
4、 证明：若第一格的三段论结论为O，则据规则5知其前提之一须是否定命题，由第一格的
特殊规则1知小前提必须是肯定命题，因此前提为否定命题的只能是在前提，再由第一格的特殊规则2知大前提必须是全称命题，综上知大前提只能是E。
5、 用反证法。假设小前提是否定的，那么据规则4，结论也应是否定的，于是大项在结论中周
延。再据规则2，大项在前提中也必须是周延的。而在第一格中，大项处于谓项的位置，所以大前提必须是否定的。这样一来，两个前提都是否定的，这就违反了规则3，故假设不成立，因此，在第一格中，小前提必须是肯定的。
6、 证明：一个三段论结论为否定命题，则其大项在结论中周延，据规则2知它在前提中也要
周延，而一个I其主项和谓项都不周延，因此如果它是一个正确的三段论，则此时其大前提不能是I。
7、 所有精通逻辑的都精能英语。
所有精通英语的不精通数学， 所有精通数学的都不精通逻辑。
它是第四格的AEE式，为一正确的三段论推理，若A与B，即前提皆真，可知结论也真，而结论与C是同一素材命题，它们分别是E和I，具有矛盾关系，不能同真，因此C假。 8、 证明：由三段论的规则知A与B至多有一个为否定命题。若A与B皆为肯定命题，则结
论已成立；若A与B有一个为否定命题，则结论C应为否定命题，而D是与C相矛盾的直言命题，则D应是肯定命题，因此，A、B、D中有两个为肯定命题，结论也成立。 9、 如果B为肯定命题，则D应为否定命题。此时若A也为肯定命题，则C应为肯定命题，
这样“D∧A→C”这违反了规则4。若A也为否定命题，则C也应为否定命题，这样“D∧A→C”这违反了规则3。
如果B为否定命题，则D应为肯定命题并且A只能是肯定命题，这样“D∧A→C”这违反了规则5。
综上，“D∧A→C”不是有效的三段论。
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10、第四格的AAI式。推导过程：由大项在结论中不周延知结论为肯定命题，因而两个前提皆
为肯定命题。由肯定命题的谓项不周延而大项在前提中周延知大项在前提中处于主项的位置，故大前提是PAM。这样，中项在大前提中未周延，为使中项在前提中至少要周延一次，它在小前提中须周延，而小前提也是肯定命题，故小前提也应是A，且中项为其主项，因而，小前提是MAS。再根据前提中不周延的项在结论中不得周延知结论是特称命题，综上，结论为SIP。
11、首先，由小前提为O命题可以得到两点：一是由规则3和6知大前提是A命题；二是由规
则4和7知结论为O命题。这样该三段论是一个AOO式。第一格、第三格和第四格的AOO式分别如下：
MAP MAP PAM
SOM MOS MOS SOP SOP SOP
第一格的AOO式违反了大项不当周延的错误；第三格的AOO式违反了大项不当周延的错误；第四格的AOO违反了规则1。 所以，它只能是第二格的三段论。
12、假设第四格的大前提是O命题，即大前提是POM。则由规则4和7知结论是O命题，因
此大项在结论中周延，但由上知P是O命题的主项，不周延，这样便违反了规则(二)。由题11知第四格的小前提也不能是O命题。
13、既然小项在该第四格的三段论的结论中周延，因此它的结论是全称命题，由第四格的特殊
规则5知，这个第四格的三段论的结论只能是全称否定命题E，这样由规则7知其两个前提应都是全称命题。而第四格的小项在前提中是谓项，故为满足规则2，小前提只能是全称否定命题E。由规则3和前面巳得结论即可得其大前提只能是全称肯定命题A。综上，该第四格的三段论便为AEE式。
14、由规则3知大前提只能是肯定命题，由规则4知结论是否定命题，所以大项是周延的，再
由规则2知大项在前提中应周延，故大前提只能是全称肯定命题。
15、由(3)和(1)根据三段论第一格得到MOP，由此再据(2)根据充分条件假言命题推理的肯前式
得到SIP，再由直言命题的换位式得到PIS。因此肯定(1)、(2)和(3)就要肯定PIS和PES，而这两者具有矛盾关系，因此便违反了矛盾律。
16、用选言法证明。由c)知S与P只剩三种可能：(1)S与P全同；(2)S真包含于P；(3)S真包
含P。下面我们证明(1)和(2)不可能。如果(1)或(2)成立，则有SAP成立。由c)和a)运用充分条件假言命题推理的否定后件式得到P真包含于M，因此有PAM；再由c)和b)同理可得S与M交叉。由巳得的SAP和PAM据第一格的三段论的AAA式即得SAM，便与刚才所得的S与M交叉相矛盾。故(1)和(2)皆不可能。因此S真包含P。
17、证明：若(1)假，因恰有一个假，因此(3)真。同时(1)的否定真，即A不与B全同，且A不
与C全异。但这与(3)矛盾。因此(1)不能是假。同理可得(2)亦不能为假。因此(3)为假。因此(3)的否定真，即A不与C全异或者B不与C全异。
如果A不与C全异，则它和(1)根据充分条件假言命题推理的否后式得A与B全同。这时我们有：所有A是B；且由A不与C全异得到：有A是C。据三段论的第三格的IAI式可
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