大变化量，如果?Kp以dB为单位，则指增益dB值的变化量。
3） 阻尼系数与品质因数 阻尼系数?是表征滤波器对角频率为?0信号的阻尼作用，是滤波器中表示能量衰耗的一项指标，它是与传递函数的极点实部大小相关的一项系数。它可由式（4-3）所示的传递函数的分母多项式系数求得:
??aj1aj2?0
?的倒数Q?1/?称为品质因数，是评价带通与带阻滤波器频率选择特性的一个重要指标，Q为：
?0 ??式中的??为带通或带阻滤波器的3dB带宽，?0为中心频率，在很多情况下中心频率与固有频率?0相等。
Q? 4）灵敏度 滤波电路由许多元件构成，每个元件参数值的变化都会影响滤波器的性能。滤波器某一性能指标y对某一元件参数x变化的灵敏度记作Sxy，定义为：
Sxy?dyy dxx灵敏度是滤波电路设计中的一个重要参数，可以用来分析元件实际值偏离设计值时，电路实际性能与设计性能的偏离；也可以用来估计在使用过程中元件参数值变化时，电路性能变化情况。该灵敏度与测量仪器或电路系统灵敏度不是一个概念，该灵敏度越小，标志着电路容错能力越强，稳定性也越高。
5）群时延函数 当滤波器幅频特性满足设计要求时，为保证输出信号失真度不超过允许范围，对其相频特性?(?)也应提出一定要求。在滤波器设计中，常用群时延函数
?(?)?
d?(?)评价信号经滤波后相位失真程度。?(?)越接近常数，信号相位失真越小。 d?4-2 证明二阶电路传递函数分母系数均为正时电路是稳定的(提示：极点位置均位于s平面
左半部分)
假设二阶传递函数具有如下形式
n2s2?n1s?n0 H(s)?2d2s?d1s?d0其极点位置为：
sP1,P2?1)当d1?4d0d2时
2?d1?d12?4d0d22d2
4d0d2?d12?d1sP1??j
2d22d14d0d2?d12?d1sP2??j
2d22d1 25
Re(sP1)?Re(sP2)??d1/2d2?0(d1?0,d2?0)
22)当d1?4d0d2时
d12?4d0d2?d1sP1???0
2d22d1d12?4d0d2?d1sP2???0
2d22d1极点均位于s平面左半部分，因此电路是稳定的。
4-3 试确定图4-3所示的低通滤波器的群时延函数?(?)，并证明当????0时，贝赛尔逼
近Q?1/由式(4-12)
3可使?(?)最接近常数。(提示：将?(?)展成幂级数，并略去(?/?0)4及更高次项)
??0??arctg??2??02??(?)???????π?arctg202????0?可以得到
???0
???0??0(?2??02)d?(?)??(?)??2
d?(???02)2??2?02?2?[1?(?/?0)2]?? 224[1?(??/?0)?2(?/?0)?(?/?0)]?0当????0时，将其展成幂级数又可以得到
?(?)???????2?4[1?()2][1?2()2?()?o?()]
?0?0?0?O?0??????2?[1?3()2?()?o?()4] ?0?0?0?04当??3时略去(?/?0)及更高次项
?(?)????? [1?o?()4]???0?0?0
4-4 如果带通滤波器可等效成低通与高通滤波电路的级联，那么带阻滤波器呢？试以式
(4-18)证明之。
带阻滤波器可等效成低通与高通滤波电路的并联，但是要求低通滤波器的通带截频低于高通滤波器的通带截频，并且相位相同。设电路原理框图如下
Vi(s) H1(s) + Vo(s)
H2(s) 如果
+ Vo(s)?H1(s)Vi(s)?H2(s)Vi(s)?[H1(s)?H2(s)]Vi(s)
26
H1(s)?2Kp?02s2???0s??0?2Kp?02s2??0s/Q??0
H2(s)?则
Kps2s???0s??H(s)?220?Kps22s2??0s/Q??0
Kp(s2??02)s2??0s/Q??02
与式(4-19)完全相同。
4-5 具有图4-8所示特性的通带波动为0.5dB的五阶切比雪夫低通滤波器可由一个一阶基
本节与两个二阶基本节等效级联组成。试求两个二阶基本节的品质因数，并确定通带内增益相对直流增益的最大偏离为百分之几。 通带增益波纹系数??10由式(4-27)可以得到：
22?0??p(sinh2??cos2?k),?0/Q?2?Psinh?sin?k
?KP/10?1=0.3493，??[sinh?1(1/?)]/n=0.3548,
Q1?sinh2??cos2?12sinh?sin?1?4.545，Q2?sinh2??cos2?22sinh?sin?2??Kp/20?1.178
?Kp?1?11??2?1?10
?5.6%
4-6 试确定一个巴特沃斯低通滤波器的传递函数，要求信号在通带f?250Hz内，通带增
益最大变化量?Kp不超过2dB，在阻带f>1000Hz，衰耗不低于15dB。？ 由题意可知，通带截频fp=250Hz，阻带截频fr=1000Hz。首先试用二阶电路n=2，根据巴特沃斯低通滤波器幅频特性单调性以及式4-24有：
20lg[1/1?(fp/fc)]???Kp??2dB， fc=327Hz
阻带衰耗
2ar?20lg1?(fr/fc)2?10.1dB
不满足设计要求。试用三阶电路n=3有：
20lg[1/1?(fp/fc)]??2dB， fc=273.4Hz
阻带衰耗
3ar?20lg1?(fr/fc)3?17dB
满足设计要求，根据式4-25，仿照第二节例题可以确定其传递函数
?c?c2 H(?)?()22s??cs?2sin?1?cs??c5.069?109= (s?1.718?103)[s2?(1.715?103)s?2.951?106] 27
4-7 用单一运放设计一个增益为-1，fc?273.4Hz的三阶巴特沃斯高通滤波器。
首先参考式4-25确定相应低通滤波器的传递函数
?1?π/6， sin?1?1/2
2?c2??cc?H(?)?()=()(?2) 2s??cs2?2sin?1?cs??c2s??cs??cs??cKp?c利用频率变换关系s/?c??c/s可以得到所求高通滤波器的传递函数
ss2H(s)??()()?H1(?)H2(?)
s??cs2??cs??c2然后确定电路结构。用单一运放构成三阶电路，其中一阶环节可由增益为1的RC无源电路实现。二阶环节增益为-1，可选无限增益多路反馈型电路，实际电路结构如下图。 对一阶电路有：
C3 C1 ui(t) R1 R2 - C2 ∞ C + + N R3 uo(t)
R 图X4-2 H1(s)?ss? s??cs?1/R3C电容值可参考表4-2选择为C?0.1?F，电阻值可按下式计算：
R3?R3可选公称值为5.6k?的电阻。
1?5.821k?
2πCfc对二阶电路有：
s2 H2(s)??22s??cs??cC1仍可参考表4-2选择为C1?0.1?F，因为增益为-1，由式(4-45)可得C3=C1。 这时还
有三个未知元件R1、R2与C2和两个约束条件
??0?C1?C2?C3?1,R2C2C3fc?12πR1R2C2C3
因此答案不唯一。如选择C2?C1?0.1?F，则R1?1.940k?，R2?17.46k?。最后选择元件公称值为R1?2k?，R2?17k?。
4-8 一电路结构如图4-26。其中R0?R1?R5?10k?，R2?4.7k?，R3?47k?，
R4?33k?，C1?C2?0.1?F。试确定当电阻R0断开与接入时电路功能分别是什
28