2018-2019学年浙江省温州市“五校协作体”八年级(下)期中数学试卷

24.【答案】解:(1)如图1,过A作AN⊥OB于N,

过B作BD⊥AC于D,过Q作QM⊥OF于M,则AN∥BD∥MQ,

Rt△AON中,∠AOB=∠EOF=60°,OA=10, ∴ON=OA=5,AN=5,

同理得:CD=5,BD=5, ∵四边形OACB是平行四边形, ∴OB∥AC,

∴MQ=BD=5,

当a=2时,CQ=2,OP=4, ∴BM=DQ=5-2=3,

∴PM=PB+BM=16-4+3=15, Rt△PMQ中,由勾股定理得:PQ==10(cm);

=(2)分两种情况:

①当P在边OB上时,如图2,四边形PBCQ是平行四边形, ∴PB=CQ, 即16-2a=a, a=;

②当P在OB的延长线上时,如图3,四边形BPCQ是平行四边形,

∴PB=CQ

即2a-16=a,

a=16,此时Q与A重合, 综上,a的值为或16;

(3)分三种情况:

①如图4,当C'在边AC上时,PQ⊥AC,过B作BD⊥AC于D时,则BD∥PQ,

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∴PB=QD, 16-2a=a-5, 3a=21, a=7;

②如图5,当C'在边OB上时,连接PC、CC'、C'Q,过C作CR⊥OP于R, ∵C与C'关于PQ对称, ∴PQ是CC'的垂直平分线, ∴PC=PC',CQ=C'Q, ∴∠PCC'=∠PC'C, ∵AC∥OP,

∴∠PC'C=∠QCC', ∴∠QCC'=∠PCC', ∵CC'⊥PQ, ∴PC=CQ=a, ∵OP=2a, ∴BP=2a-16,

Rt△BCR中,∠CBR=60°, ∴∠BCR=30°, ∵BC=10,

∴BR=5,CR=5,

∴PR=5-(2a-16)=21-2a, 由勾股定理得:a=14+2,

(舍)或14-2;

③如图6,当C'在直线CB上时,连接PC、CC'、C'Q, Rt△PBR中,∠PBR=60°, ∴∠BPR=30°, ∵PB=2a-16, ∴BR=BP=a-8, 同理得:CR=CQ=a, ∵BC=BR+CR, ∴a-8+a=10,a=12,

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综上,a的值为7或14-2【解析】

或12.

(1)如图1,作辅助线,构建直角三角形,计算PM和MQ的长,利用勾股定理可得PQ的长; (2)分两种情况:

①当P在边OB上时,如图2,四边形PBCQ是平行四边形, ②当P在OB的延长线上时,如图3,四边形BPCQ是平行四边形, 分别根据PB=CQ列方程可得结论;

(3)存在三种情况:①如图4,当C'在边AC上时,PQ⊥AC,过B作BD⊥AC于D时,则BD∥PQ,

②如图5,当C'在边OB上时,连接PC、CC'、C'Q,过C作CR⊥OP于R, ③如图6,当C'在直线CB上时,连接PC、CC'、C'Q, 分别根据对称性和直角三角形的性质列方程可得结论.

本题是四边形的综合题,主要考查了平行四边形的性质和判定,勾股定理,对称性等知识,综合性较强,有一定难度.进行分类讨论和数形结合思想的应用是解决问题的关键.

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