第九节 函数模型及其应用
[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·b＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)幂函数模型：y＝a·x＋b(a≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较
函数 性质 在(0，＋∞)上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较 nx2
kxy＝ax(a＞1) 单调递增 越来越快 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 y＝logax(a＞1) 单调递增 越来越慢 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 nxy＝xn(n＞0) 单调递增 因n而异 随n值变化而各有不同 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜x＜a 3.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：
[常用结论]
- 1 -
形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)内单调递增，在[－a，0]和(0，a]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a， 当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2与函数y＝x的图象有且只有两个公共点．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x0，使ax0＜x0＜logax0.( )
(4)f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表，则x，y最适合的函数是( )
2
axx2
nxx y A.y＝2x C．y＝2x－2 选项B，故选D.]
0.50 －0.99 0.99 0.01 B．y＝x－1 D．y＝log2 x
22.01 0.98 3.98 2.00 D [当x＝0.50时，y＝－0.99，从而排除选项A、C，又当x＝2.01时，y＝0.98，从而排除3．(教材改编)一个工厂生产一种产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝0.1x＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是( ) A．70台 C．80台
B．75台 D．85台
2
2
B [由题意可知，利润f(x)＝25x－y＝－0.1x＋15x－300，(0＜x≤240，x∈N) ∴当x＝75时，f(x)取到最大，故选B.]
4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( ) A．减少7.84% C．减少9.5%
B．增加7.84% D．不增不减
A [设某商品原来价格为a，四年后价格为：
a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，
(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，
所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]
5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
- 2 -
??0.5x，0＜x≤100y＝?
?0.4x＋10，x＞100?
[由题意可知，当0＜x≤100时，y＝0.5x.
当x＞100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4 ＝0.4x＋10.
??0.5x，0＜x≤100∴y＝?
?0.4x＋10，x＞100.?
]
用函数图象刻画变化过程
1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为( )
A B C D
D [因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合．]
2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
A B C D
B [因为运输效率逐步提高，故曲线上每点处的切线斜率应该逐渐增大，故选B.]
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
- 3 -
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 D [根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]
[规律方法] 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法 1构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. 2验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
应用所给函数模型解决实际问题
【例1】 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产12100
量不足8万件时，W(x)＝x＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万
3x元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解] (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元， 依题意得，当0＜x＜8时，
1
?3
?2?L(x)＝5x－?x＋x?－3＝－x2＋4x－3；
?
100???100?当x≥8时，L(x)＝5x－?6x＋－38?－3＝35－?x＋?.
1
3
?
x??x?
1
－x＋4x－3，0＜x＜8，??3
所以L(x)＝?
?x＋100?，x≥8.35－???x???
2
12
(2)当0＜x＜8时，L(x)＝－(x－6)＋9.
3
此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元，
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