九年级数学培优讲义与测试

12.如图,⊙O2经过⊙O1的圆心且与⊙O1相交于A和B,AC为⊙O1的直径,直线CB交⊙O2于D,AD交⊙O1于E,BE交⊙O2于F,连结AF,求证:(1) DA = DC;(2) ⊙O1与⊙O2周长比等于AE:AF.

13.如图,⊙A与⊙B相交于C、D,且它们都与⊙O内切,切点为M、N,射线CD交⊙O于P,PM交OA于E,PN交OB于F,求证:EF是⊙A、⊙B的公切线。

14.如图,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,⊙之弦AC是⊙O2之切线,而⊙O2之弦DA是⊙O1之切线。若⊙O1与⊙O2的半径分别为R1、R2,求△ABC与△ABD的面积比。

C卷

一、填空题

1.若两个圆不管怎么放置,其公切线都不少于2条,则这两个圆的半径 。

2.如图,与⊙O1、⊙O2、⊙O3同时相切的圆共有 个。

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3.如图,⊙O1与⊙O2的半径分别为5 cm、2 cm,圆心距为6 cm,AB、CD为外公切线,A、B、C、D为切点,则两圆中以切点为端点的弦长分别等于 。

4.如图,两个同心圆,点A在大圆上,ABC是小圆的割线。若AB和AC是方程x2?kx?8?0的两个根,则圆环的面积是 。

5.已知R、r分别为两圆的半径,且R≠r, d为两圆的圆心距。若方程x2?2Rx?r2?d(r?R)有两个相等的实数根,那么这两个圆的位置关系是 。

6.如图,AB为⊙O的直径,⊙O1是以⊙O的半径OA为直径的圆,且与⊙O的弦AC相交于D.若BC=16,则OD= 。

7.如图,⊙O1与⊙O2外切于点P,内公切线PC与外公切线AB (A、B分别是⊙O1和⊙O2上的切点)相交于点C.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和4,则PC的长等于 。

8.如图,AB为半圆O的直径⊙O1与半圆内切于C1,与AB相切于D1;⊙O2与半圆内切于C2,与AB相切于D2,则?AC1D1与?AC2D2的大小关系是 。

9.如图,两圆同心,半径为26与43,矩形ABCD的边AB、CD为两圆的弦。当矩形面积取最大值时,它的周长等于 。

10.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3和5,O1O2 = 10,则两圆的两条内公切

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线与一条外公切线所围成的三角形面积为 。

二、解答题

11.如图,已知C为线段AB上一点,在AB同侧分别取以AB、BC、AC为直径作半圆⊙O、 ⊙O1、⊙O2,过C点作CD⊥AB交⊙O于D,EF分别切⊙O1和⊙O2于E、F点,求证:EF = CD.

12.如图,两圆相交于P、Q两点,过P任作两直线交一圆于A、B,交另一圆于A'、B',AB与A'B'交于点C,求证:∠C为定值。

13.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且O2在⊙O1上。 (1)如图,AD是⊙O2的直径,连结DB并延长交⊙O1于C, 求证:CO2⊥AD.

(2)如图,若AD是⊙O2的一条弦,连结DB并延长交⊙O1于C,那么CO2所在的直线是否与AD垂直?并证明你的结论。

14.如图147、图148,⊙O1和⊙O2交于A、B两点,PA、PB分别是⊙O1、⊙O2的切线,PA交⊙O2于点C,PB的延长线交⊙O1于点D.

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PA3PD?(1)求证:; PB3PCPDO1A?(2)求证:; PAO2A(3)在本题中,如果BO1?O1A,?APB是锐角,且O1A?23, O2A=3(如图148),求PB的长(结果取准确值)。

第十四讲 与圆有关的比例线段

知识点、重点、难点

在圆中,有相交弦定理、切割线定理及其推论,这些定理统称圆幂定理。 1.相交弦定理:圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。

推论:若弦与直径垂直相交,则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。

2.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。 3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法:(1)直接应用圆幂定理; (2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。

圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系,它们之间有着密切的联系,我们应当熟悉以下基本图形。

例题精讲

例1:如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线,交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.当AD与⊙O2相切,且

PA = 6,PC=2,PD =12时,求AD的长。

解 连结AB.因为CA切⊙O1;于点A,所以∠1 =∠D. 又∠1=∠E,所以∠D=∠E.又∠2=∠3,

PAPD?, PCPE即PA·PE = PC·PD.因为PA=6,PC=2,PD =12,得6×PE=2×12,

得PE =4.由相交弦定理得PE·PB=PA·PC,所以4PB=6×2,得PB=3.所以BD = PD-PB=9,DE =DP+PE =12+4=16.因为DA切⊙O2于点A,所以DA2= DB·DE,即AD2=9×16,得AD=

所以△APD∽△CPE,所以

12.

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