九年级数学培优讲义与测试

CD⊥O2E,且O1E平分∠AEB,O2E平分∠CED,所以O1E⊥O2E,得AB⊥CD.于是K为分别以AC和BD为直径的两圆S1和S2的交点,故K在圆S1和圆S2的等幂线(根轴)上。又O1A⊥AC,则O1A是圆S1的切线,所以O1关于圆S1的幂是O1A2.同理O1关于圆S2的幂是O1B2.由于O1A2 = O1B2,故O1是关于圆S1和圆S2的等幂点。同理可知O2也是关于圆S1和圆S2的等幂点。所以O1O2是圆S1和圆S2的根轴,从而知K在连心线O1O2上。

例4:如图,⊙O1与⊙O2相交,公共弦为MN,公切线为AB与CD,直线MN交AB于P,交CD于Q,求证:PQ2?AB2?MN2.

证明 因为AB为⊙O1、⊙O2的公切线,所以由切割线定理得PA2?PMPN?PB2,从而有PA=PB,于是AB2?4PMPN.同理可得CQ=DQ.

于是AC∥PQ∥BD,所以PQ⊥O1O2,且直线O1O2平分线段PQ. 又MN⊥O1O2,且直线O1O2平分公共弦MN,因而有PM=QN.

所以AB2+MN2= 4PM·PN+MN2=4PM2+4PM·MN+MN2 =(2PM+MN)2=(PM+MN+NQ) 2=PQ2.

例5:任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去扎这一堆纸片,证明:不论针尖落在哪一点,总不能把六个纸片全部扎中。

证明:即证明平面上任意一点都不会同时在这六个圆的内部。

用反证法。如图,设平面上有一点M同时在这六个圆的内部,连结六个圆心:MO1、MO2、MO3、…、MO6,于是?O1M2O??2OM3?O??5360O°,因此至少有一个角不大于M?O60

°,不妨设?O1MO2? 60°,即r?60°.又因为??????180°,故?、?中必有一个不小于60°,不妨设??60°,于是???所以O1O2?O1M?r1(r1为⊙O1的半径),故O2在⊙O1的内部,这与题设矛盾。这就证明了M点不可能同时在六个圆的内部。

例6:如图,∠CAB=∠ABD = 90°,AB=AC+BD,AD交于BC于P,作⊙P使其与AB相切,试问以AB为直径作出的⊙O与⊙P是相交?是内切?还是内含?请作出判断并加以证明。

解 如图,设⊙P切AB于E,连结PE,得PE⊥AB.令AC =a,BD=b(a≤b),那么AB = a+b.又设⊙O半径为R,⊙P半径为r,由AB=AC+BD得2RrrEBAEabAEAB=a+b,由得r?得???1?.又由?abABABa?brbABaba?b11E?a,于是OE?R?a?(a?b)?a?(b?a).AE?r?,即Aba?bab22ab2(b?a)2(a2?b2)222222)??在Rt△OPE中,OP?PE?OE?r?OE?(,a?b44(a?b)2a2?b2(a?b)2?2aba?bab????R?r.由此推知⊙O与⊙P相内切。 于是OP?2(a?b)2(a?b)2a?b

例7:如图⊙A、⊙B、⊙O三圆彼此外切,且均与同一直线相切于A1、

111B1、C1点,求证:??(其中a、b、c分别为⊙A、⊙B、

cab⊙O的半径)。

、BB 证明 如图,AA1、OC11均垂直于直线A1B1,过O作

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OC2?AA1

于C2,由勾股定理知

2A1C12?C2O2?AO2?AC2?(a?c)2?(a?c)2?4ac.

同理可得B1C12?4bc,AB12?4ab.由于AC11?C1B1?A1B1,因此

111ac?bc?ab,于是有??.

cab

A卷

一、填空题

1.两圆的圆心距为6,半径分别是方程x2?5x?4?0的两根,则这两圆的位置关系为 。

2.两圆的半径比为7:5,当它们外切时圆心距为36,则相交时两圆圆心距d的取值范围是 。 3. ⊙A、⊙B、⊙C两两外切,AB:BC:CA=3:4:5,则⊙A、⊙B、⊙C的半径之比为 。

4.两圆的半径分别为5 cm和4 cm,公共弧长为6 cm,则两圆的圆心距等于 。

5.三个同心圆的半径分别为r1、r2、r3,且r1<r2<r3.若大圆的面积被两个小圆三等分,那么r1:r2:r3等于 。

6.一个半径为r的⊙O1内切于一个等腰直角三角形ABC,一个半径为R的⊙O2外接于这个三角形,那么R:r等于 。

7.如图,在同一直线的同侧作三个圆,其中⊙O3的半径为4,⊙O1、⊙O2的半径相等,并且每一个圆都和直线以及其他两圆相切,则两

个等圆的半径为 。

8.以O为圆心的两个同心圆的半径分别是9 cm和5 cm,⊙O'与这两个圆都相切,则⊙O'的半径是 。

9.如图,两圆内切于点A,PA为两圆的外公切线,PB、PC分别切两圆于B、C.若∠APC = 40°,∠PAB=75°,则∠PCB等于 。

10. ⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以P为圆心且与⊙O相切的圆的半径一定是 。

二、解答题

11.如图,已知⊙O1和⊙O2是两个相交的等圆,交点为A、B、CD是过点A的直线,交⊙O1于C,交⊙O2于D,BE⊥CD于E,求证:CE=DE.

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12.如图,半径为R的⊙O1和半径为r的⊙O2外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,连心线O2O1交⊙O1于C,交⊙O2于D,CA与DB的延长线相交于Q.

(1)求证:CQ⊥DQ;(2)若R=3r,求∠ABQ的度数。

13.如图,已知⊙O1、⊙O2外切于P,AB为两圆的外公切线,A、B为切点,AP交⊙O2于C,

BP交⊙O1于 D,求证:AB 2 =AP·PC +BP·PD.

14.如图,⊙O1是△ABC的外接圆,⊙O2与⊙O1内切于点A,⊙O2交AB于F,交AC于G,EF⊥BC于E,GH⊥BC于H,AD是△ABC的高,交FG于M,且AD=6,BC =8. (1)求证:四边形EFGH是矩形;

(2)设EF=x,矩形FEHG面积为y,写出y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;

(3)当矩形EFGH的面积是△ABC面积的一半时,两圆半径有什么关系?并证明你的结论。

B卷

一、填空题

1.已知两圆的圆心距是d,两圆的半径分别为R和r(R>r),且d2?R2? r2?2Rd,那么两圆的位置关系是 。

2.已知两圆的半径分别为3与5,圆心距为x,且(x?3)2?x?3,x?4=4-x,则两圆的公切线共有 条。

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3.如图,⊙O1和⊙O2外切于点P,它们的半径之比为3:2,AB是它们的外公切线,A、B是切点,AB=46,那么⊙O1和⊙O2的圆心距

是 。

4. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,公共弦AB与连心线O1O2交于G.若AB = 48,⊙O1和⊙O2的半径分别为30和40,则?AO1O2的面积是 。

5.如图⊙O1和⊙O2内切于点P,⊙O2的弦AB经过⊙O1的圆心O1,交⊙O1于C、D.若AC:CD:DB=3:4:2,则⊙O1与⊙O2的半径之比为 。

6.如图,⊙O过M点,OM交⊙O于A,延长⊙O的直径AB交⊙M于C.若AB=8,BC=1,则AM= 。

7.如图,⊙O1和⊙O2相外切于D点,经过D点的直线与⊙O1和⊙O2 分别相交于A、B.若?AO2D?110°,C为优弧BD上一点,

则?BCD= 。

8.两圆半径分别为4、2,若它们有两条公切线互相垂直,则这两个圆的圆心距等于 。

9.已知圆O1和圆O2外切,半径分别为1 cm和3 cm,那么半径为5 cm,且与圆O1、圆O2都相切的圆一共可以作出 个。

10.如图,两个同心圆的圆心为O,大圆的弦AD交小圆于B、C,大圆的弦AF切小圆于E,经过B、E的直线交大圆于M、N.若AE =3,NE=2,则BN= 。

二、解答题

11.如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B、C是⊙O1上的点且在⊙O2内,AC的延长线交⊙O2于D,BC的延长线交⊙O2于E,DB的延长线交⊙O1于F,过D作⊙O2的切线DG,交CB的延长线于

G,求证:CB·EG=FC·GD.

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