12.如图，直线AB与⊙O相交于点E、F，EF为⊙O的直径，且AE=EF=FB，直线AP与⊙O的半径OD垂直于D，求证：∠ADE=∠PDB．
13.如图，锐角△ABC的外接圆的切线PB、PC相交于P，M是BC的中点，证明：∠BAM =∠CAP．
14.如图，设线段AB的长为2l，中点为C，以点C为圆心，小于l的任意长为半径，在AB上方作一半圆，并从A、B作这半圆的切线，切点分别记为D、E.若DE上任意一点F处的切线与自A、B所作切线分别交于A'、B'，证明：AA'·BB'=l2．
C卷
一、填空题
1.如图，半圆的圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上，且半圆与两直角边相切。若直角三角形的面积为S，斜边长为c，则半圆的半径r= 。
2.如图，以AB为直径的半圆中，有一个内接正方形CDEF，边长为1，AC=a，BC=b，则a= ，b= 。
3.如图，AB为⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线，AD、BC相交于P点，且P点在⊙O上。若AC =a，BD =b，则⊙O的半径为 。
第 77 / 97 页
4.如图， M是弧CAB的中点，线段MP垂直于弦AB于P．若AC=a，AP = b，那么PB的长是 。
5.如图，AB是半径为a的⊙O的直径，作弦AD并延长交过B的切线于C，E为AC上的一点，且AE = CD，EF⊥AB于F.设AF=x，EF =y，则y与x的函数关系是 。
6.如图，PA切⊙O于A，PO延长后交⊙O于B，PC是∠APB的平分线，交AB于C，则∠PCA的度数是 。
7.如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 。
8.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝3，BC =4，三个直角三角形△ABC、△ACD、△BCD的内切圆半径分别为r1、r2、r3，则r1＋r2＋r3的值是 。
10.如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角的度数是 。
第 78 / 97 页
二、解答题
11.如图，AB为⊙O的直径，P为⊙O外一点，过P引圆O的两条切线，切点分别为C、D，AD与BC交于点E，求证：EP⊥AB．
12.如图，PA、 PB切⊙O于A、B两点，过P作割线交⊙O于C、D，过B作BE∥CD，连结AE交PD于M，求证：M为DC的中点。
13.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，AB交OP于M，N为PM的中点，NT切⊙O于T点，求证：NT=NP.
14.如图，凸四边形ABCD内有四个小圆，每个圆都和四边形的两条边及另外两个圆相切．又知该四边形是一个圆的外切四边形，求证：上述四个圆中至少有两个圆的半径是相等的。
第 79 / 97 页
第十三讲 圆与圆的位置关系
知识点、重点、难点
两圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切（内切或外切）、两圆相离、两圆内含。 设两个圆为⊙O1、⊙O2，半径分别为R1、R2，且R1≥R2，O1与O2的距离为d，那么， d?R1?R2?两圆相离?4条公切线(2条外公切线，2条内公切线)； d?R1?R2?两圆外切?3条公切线(2条外公切线，1条内公切线)；
R1?R2?d?R1?R2?两圆相交?2条公切线(2条外公切线，无内公切线)； d?R1?R2?两圆内切?条公切线(1条外公切线，无内公切线)； d?R1?R?两圆内含?无公切线。
两圆的内（外）公切线的长为l内?d2?(R1?R2)2；
l外?d2?(R1?R2)2.
由圆的对称性知：
若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦。
若两圆有两条外（内）公切线，那么这两条外（内）公切线长相等。若两条外（内）公切线相交，那么交点在连心线上，并且连心线平分两公切线所夹的角。
例题精讲
例1：如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PN，N为切点。令PN的中点为M，过PM的圆与⊙O交于A、B，BA的延长线与PM交于点Q，求证： PM=3MQ．
解 因PN为切线，由切割线定理知 NQ2 = QA·QB = QM·QP.
设QM=x，QN=y，于是MP = MN=x＋y(x＞0，y＞0)， 故QP＝x＋(x＋y )= 2x＋y，所以y2= x(2x+ y)，即2x2?xy?y2=0.
由此得(x＋y )(2x－y)=0，故2x = y或x=－y(舍去），MP=x＋y = 3x = 3MQ.
例2：如图，△ABC的内切圆切BC边于D，求证△ABD和△ACD的内切圆相外切。 解 设E、F为△ABC内切圆与AC、AB的切点，T1、T2分别为⊙O1、 ⊙O2与AD的切点，于是BF = BD，CE=CD.
AB?BD?ABAB?BD?AF?BFDT1??
22AD?AF?.
2AD?AE.又AE 同理DT2?= AF，所以DT1?DT2，即T1与T2重合．所以⊙O1与⊙O2切于T1点。 2
例3：如图，⊙O1和⊙O2相离，引它们的一条外公切线切⊙O1于A，切⊙O2于C.引它们的一条内公切线⊙O1于B，切⊙O2于D，求证：直线AB和CD的交点在两圆的连心线上。 证明 设AB 和CD的交点为K，AC和BD的交点为E，则AB⊥O1E，
第 80 / 97 页