第一讲 一次函数和反比例函数
知识点、重点、难点
函数y?kx?b(k?0)称为一次函数，其函数图像是一条直线。若b?0时，则称函数y?kx为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当k?0时，函数y?kx?b是单调递增函数，即函数值y随x增大（减小）而增大（减小）；当k?0，y?kx?b是递减函数，即函数值y随x增大（减小）而减小（增大）。
k函数y?(k?0)称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
x当k?0且x?0时，函数值y随x增大（减小）而减小（增大）；当k?0且x?0，函数
k值y随x增大（减小）而减小（增大），也就是说：当k?0时，反比例函数y?分别在第一
xk或第三象限内是单调递减函数；当k?0时，函数y?分别在第二或第四象限内是单调递增
x函数。
若y?k1x?b1(k1?0),y?k2x?b2(k2?0). 当k1?k2时，b1?b2时，两面直线平行。
当k1?k2时，b1?b2时，两面直线重合。 当k1?k2时，两直线相交。 当k1k2??1时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。
例题精讲
例1：在直角坐标平面上有点A(?1,?2)、B(4,2)、C(1,c)，求c为何值时AC?BC取最小值。 解 显然，当点C在线段AB内时，AC?BC最短。 设直线AB方程为y?kx?b，代入A(?1,?2)、B(4,2)
4?k????k?b??2?5得?解得?
64k?b?2,??b??,?5?46所以线段AB为y?x?(?1?x?4),
55462代入C(1,c)，得c??1???.
5552k?1k?10x?例2：求证：一次函数y?的图像对一切有意义的k恒过一定点，并求这个定k?2k?2点。
解 由一次函数得(k?2)y?(2k?1)x?(k?10),整理得
(2x?y?1)k?x?2y?10?0。因为等式对一切有意义的k成立，所以得
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12?x???2x?y?1?01219?5解得当，时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图x?y???55?x?2y?10?0,?y?19,?5??1219?像过定点?,?.
?55?例3：已知m、n、c为常数，m2?n2?0，并且mf(x?1)?nf(1?x)?cx,求f(x)。 解 用1?x代换原方程中的x，得m ○1用x?1代换原方程中的fx(?1)?nfx()c?(1x?).x，得mf(x)?nf(?x)?c(x?1). ○2 m?○2?n?○1得m2f(x)?n2f(x)?mcx?ncx?mc?nc.因为m2?n2?0，所以c??m?n?x?m?n??，所以f(x)?cx?c. f(x)??m2?n2m?nm?n
11?11?例4:如图，设f(x)?mx?(1?x)??m??x?,因为当m?1时，m??0,f(x)为递增函
mm?mm?1?1?数，f(x)在?0,1?上的最小值为f(1)??m??.1??m.
m?m?所以
1??f(0)?(m?1). g(m)??m??f(1)?m(0?m?1).1因此g(m)?在?1,???上为递减函数；g(m)?m在?0,1?上为递增
m函数，故g(m)的最大值为g(1)?1.
x2?4例5：画函数y?的图像。
2?x 解 x?0，x?0，x2?4?0，x??2,将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为
x??2的一切实数。
x??2;?x?2,?2?x,?2?x?0;?y??
2?x,0?x?2????x?2,x?2
例6：一次函数y?kx?k(k?1)图像交x轴于A点，将此直线沿直线y?x翻折交y轴于B点，这两条直线相交于P点，且四边形OAP B的面积为3， 求k的值。
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解 设点P坐标为(t,t'),又?OAP与?OBP是翻折而成，所以S?OAP面积是四边形OAPB3的一半等于。设y?0代入y?kx?k,得x?1,点A为(1,0).由
2113S?OAP?OA?PC??1?t?,222P在
y?kx?k得因点t?3,即点p(3,3).上，代入得
A
一、填空题
1.设y?(k?2)x2k?1是反比例函数，则k? ；其图像经过第 象限时；当x?0时，y随x增大而 。
32.两个一次函数y?3x?12,y?3?x,的图像与y轴所围成的三角形面积是 。
23.等腰三角形一个底角的度数记作y，顶角的度数记作x，将y表示成x的函数是 ，其中x的取值范围是 。
a4.如果函数y???1的图像与直线y?3x?2平行，则a? 。
25.已知四条直线y?mx?3、y??1、y?3、则m? 。 x?1所围成的车边形的面积是12，6.一次函数y?kx?b的图像经过点p(1,2)且与x轴交于点A，与y轴交于点B。若
5,则线段OB的长为 。 57.已知一次函数y?kx?b中，若x的值每增加4，y的值也相应增加8，则k? 。
8.如果把函数y?2x的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是 的图像。 sin?PAO?33?3k?k,k?.
2卷
9.已知一次函数y?(3n?1)(2n?1)x4n?3,则n的值为 。
10.若直线y?(m?1)x?m?5不经过第二象限，则m的取值范围是 。
二、解答题
11.求证：不论k为何值，一次函数(2k?1)x?(k?3)y?(k?11)?0的图像恒过一定点。
12.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润．已知这种商品每提高价1元（每件），日销售量就要减少10件，那么他要使每天获利最大．应把售出价定为多少元？
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B卷
一、填空题
11.函数y?ax?(1?x)(a?0,0?x?1)的最小值为 。
ak(k?0)的x图像分别交于A点和C点。若直角三角形AOB和直角三角形COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系是 。
13.点A(?4,0)、B(2,0)是平面直角坐标系中的两定点，C是y??x?2图像上的动点，则满
2足上述条件的直角三角形ABC或画出 个。 4.直线ax?by?c?0(ab?0,ac?0)经过 象限。
5.一个三角形以A?(0,0)、B(1,1)及C(9,1)为三个顶点，一条与x轴相垂直的直线将该三角形划分成面积相等的两部分，则此直线的解析式为 。
36.已知函数y?及y??x?4,则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面
x积为 。
k7.双曲线y?与一次函数y??kx?4,的图像有两个不同的交点，则k的取值范围是 。
xk18.已知反比例函数y?(k?0)，当x?0时y随x的增大而增大，则一次函数y?kx?4k的
x2图像经过 象限。
9.已知实数x、y满足4x?3y?12?0,则a?x2?y2的取值范围是 。
2m?152m10.一次函数y??x与y??x?的图像在第四象限内交于一点，则整数
4433m? 。
二、解答题
11.设直线y?2(x?1)与直线y??2(x?5)相交于点A，它们与x轴的交点为B,C，求?ABC中BC边上的中线所在的直线方程。 12.已知函数f(x)?(m?2)x?2m?3，(1) 求证：无论m取何实数，此函数图像恒过某一定点；(2)当x在1?x?2内变化时，y在4?y?5内，求实数m的值。
13.若对于满足0?x?2的一切实数x，函数y?(2k)x?3k?7的值恒大于0，求实数k的取值范围。
14．A、B两厂生产某商品的产量分别为60吨与100吨，供应三个商店。甲店需45吨，乙店需75吨，丙店需40吨。从A厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元，从B厂到三商2.如图，正比例函数y?x和y?ax(a?0)的图像与反比例函数y?第 4 / 97 页