九年级数学培优讲义与测试

第一讲 一次函数和反比例函数

知识点、重点、难点

函数y?kx?b(k?0)称为一次函数,其函数图像是一条直线。若b?0时,则称函数y?kx为正比例函数,故正比例函数是一次函数的特殊情况。

当k?0时,函数y?kx?b是单调递增函数,即函数值y随x增大(减小)而增大(减小);当k?0,y?kx?b是递减函数,即函数值y随x增大(减小)而减小(增大)。

k函数y?(k?0)称为反比例函数,其函数图像是双曲线。

x当k?0且x?0时,函数值y随x增大(减小)而减小(增大);当k?0且x?0,函数

k值y随x增大(减小)而减小(增大),也就是说:当k?0时,反比例函数y?分别在第一

xk或第三象限内是单调递减函数;当k?0时,函数y?分别在第二或第四象限内是单调递增

x函数。

若y?k1x?b1(k1?0),y?k2x?b2(k2?0). 当k1?k2时,b1?b2时,两面直线平行。

当k1?k2时,b1?b2时,两面直线重合。 当k1?k2时,两直线相交。 当k1k2??1时,两直线互相垂直。

求一次函数、反比例函数解析式,关键是要待定解析式中的未知数的系数;其次,在解题过程中要重视数形相结合。

例题精讲

例1:在直角坐标平面上有点A(?1,?2)、B(4,2)、C(1,c),求c为何值时AC?BC取最小值。 解 显然,当点C在线段AB内时,AC?BC最短。 设直线AB方程为y?kx?b,代入A(?1,?2)、B(4,2)

4?k????k?b??2?5得?解得?

64k?b?2,??b??,?5?46所以线段AB为y?x?(?1?x?4),

55462代入C(1,c),得c??1???.

5552k?1k?10x?例2:求证:一次函数y?的图像对一切有意义的k恒过一定点,并求这个定k?2k?2点。

解 由一次函数得(k?2)y?(2k?1)x?(k?10),整理得

(2x?y?1)k?x?2y?10?0。因为等式对一切有意义的k成立,所以得

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12?x???2x?y?1?01219?5解得当,时,一次函数解析式变为恒等式,所以函数图x?y???55?x?2y?10?0,?y?19,?5??1219?像过定点?,?.

?55?例3:已知m、n、c为常数,m2?n2?0,并且mf(x?1)?nf(1?x)?cx,求f(x)。 解 用1?x代换原方程中的x,得m ○1用x?1代换原方程中的fx(?1)?nfx()c?(1x?).x,得mf(x)?nf(?x)?c(x?1). ○2 m?○2?n?○1得m2f(x)?n2f(x)?mcx?ncx?mc?nc.因为m2?n2?0,所以c??m?n?x?m?n??,所以f(x)?cx?c. f(x)??m2?n2m?nm?n

11?11?例4:如图,设f(x)?mx?(1?x)??m??x?,因为当m?1时,m??0,f(x)为递增函

mm?mm?1?1?数,f(x)在?0,1?上的最小值为f(1)??m??.1??m.

m?m?所以

1??f(0)?(m?1). g(m)??m??f(1)?m(0?m?1).1因此g(m)?在?1,???上为递减函数;g(m)?m在?0,1?上为递增

m函数,故g(m)的最大值为g(1)?1.

x2?4例5:画函数y?的图像。

2?x 解 x?0,x?0,x2?4?0,x??2,将整个数轴分为四段讨论(见图)并定义域为

x??2的一切实数。

x??2;?x?2,?2?x,?2?x?0;?y??

2?x,0?x?2????x?2,x?2

例6:一次函数y?kx?k(k?1)图像交x轴于A点,将此直线沿直线y?x翻折交y轴于B点,这两条直线相交于P点,且四边形OAP B的面积为3, 求k的值。

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解 设点P坐标为(t,t'),又?OAP与?OBP是翻折而成,所以S?OAP面积是四边形OAPB3的一半等于。设y?0代入y?kx?k,得x?1,点A为(1,0).由

2113S?OAP?OA?PC??1?t?,222P在

y?kx?k得因点t?3,即点p(3,3).上,代入得

A

一、填空题

1.设y?(k?2)x2k?1是反比例函数,则k? ;其图像经过第 象限时;当x?0时,y随x增大而 。

32.两个一次函数y?3x?12,y?3?x,的图像与y轴所围成的三角形面积是 。

23.等腰三角形一个底角的度数记作y,顶角的度数记作x,将y表示成x的函数是 ,其中x的取值范围是 。

a4.如果函数y???1的图像与直线y?3x?2平行,则a? 。

25.已知四条直线y?mx?3、y??1、y?3、则m? 。 x?1所围成的车边形的面积是12,6.一次函数y?kx?b的图像经过点p(1,2)且与x轴交于点A,与y轴交于点B。若

5,则线段OB的长为 。 57.已知一次函数y?kx?b中,若x的值每增加4,y的值也相应增加8,则k? 。

8.如果把函数y?2x的图像向下平移两个单位,再向左平移一个单位,那么得到的是 的图像。 sin?PAO?33?3k?k,k?.

2卷

9.已知一次函数y?(3n?1)(2n?1)x4n?3,则n的值为 。

10.若直线y?(m?1)x?m?5不经过第二象限,则m的取值范围是 。

二、解答题

11.求证:不论k为何值,一次函数(2k?1)x?(k?3)y?(k?11)?0的图像恒过一定点。

12.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时,每天可以销售100件,现在他想采用提高售出价的办法来增加利润.已知这种商品每提高价1元(每件),日销售量就要减少10件,那么他要使每天获利最大.应把售出价定为多少元?

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B卷

一、填空题

11.函数y?ax?(1?x)(a?0,0?x?1)的最小值为 。

ak(k?0)的x图像分别交于A点和C点。若直角三角形AOB和直角三角形COD的面积分别为S1和S2,则S1与S2的大小关系是 。

13.点A(?4,0)、B(2,0)是平面直角坐标系中的两定点,C是y??x?2图像上的动点,则满

2足上述条件的直角三角形ABC或画出 个。 4.直线ax?by?c?0(ab?0,ac?0)经过 象限。

5.一个三角形以A?(0,0)、B(1,1)及C(9,1)为三个顶点,一条与x轴相垂直的直线将该三角形划分成面积相等的两部分,则此直线的解析式为 。

36.已知函数y?及y??x?4,则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面

x积为 。

k7.双曲线y?与一次函数y??kx?4,的图像有两个不同的交点,则k的取值范围是 。

xk18.已知反比例函数y?(k?0),当x?0时y随x的增大而增大,则一次函数y?kx?4k的

x2图像经过 象限。

9.已知实数x、y满足4x?3y?12?0,则a?x2?y2的取值范围是 。

2m?152m10.一次函数y??x与y??x?的图像在第四象限内交于一点,则整数

4433m? 。

二、解答题

11.设直线y?2(x?1)与直线y??2(x?5)相交于点A,它们与x轴的交点为B,C,求?ABC中BC边上的中线所在的直线方程。 12.已知函数f(x)?(m?2)x?2m?3,(1) 求证:无论m取何实数,此函数图像恒过某一定点;(2)当x在1?x?2内变化时,y在4?y?5内,求实数m的值。

13.若对于满足0?x?2的一切实数x,函数y?(2k)x?3k?7的值恒大于0,求实数k的取值范围。

14.A、B两厂生产某商品的产量分别为60吨与100吨,供应三个商店。甲店需45吨,乙店需75吨,丙店需40吨。从A厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元,从B厂到三商2.如图,正比例函数y?x和y?ax(a?0)的图像与反比例函数y?第 4 / 97 页

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