SAS讲义 第四十课平稳时间序列分析

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延迟期数小于或等于m期的序列值之间相互独立,即H0:?(1)??(2)????(m);备选假设:延

迟期数小于或等于m期的序列值之间有相关性,即H1:至少存在某个?(k)?0。 1)

QBP检验统计量

由Box和Pierce推导出的QBP检验统计量为:

?2(k)~?2(m) QBP?n??k?1m(40.21)

式中,n为序列观察期数,m为指定延迟期数。 2)

QLB检验统计量

因为QBP检验统计量在小样本场合时不太精确,所以Ljung和Box又推导出QLB检验统计量为:

?2(k)???2?QLB?n(n?2)??~?(m) ?n?k?k?1??m(40.22)

式中,n为序列观察期数,m为指定延迟期数。m一般取值为6、12。为什么只需要检验前6期和前12期延迟的QLB检验统计量就可以直接判断序列是否为白噪声序列呢?这是因为平稳序列通常具有短期相关性,只要序列时期足够长,自相关系数都会收敛于零。所以,如果序列值之间存在显著的相

关关系,通常只存在在延迟时期比较短的序列值之间,而如果短期延迟的序列之间都不存在显著的相关关系,那么长期延迟之间就更不会存在显著的相关关系。

三、 方法性工具

1. 差分运算

差分运算分为两种:k步差分和1)

p阶差分。

k步差分

相距k期的两个序列值之间的减法运算称为k步差分运算,记为?k,表示xt与xt?k之间的减法

运算,即:

?k?xt?xt?k

2)

(40.23)

p阶差分

相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算,记为?xt,表示xt与xt?1之间的减法

运算,即:

?xt?xt?xt?1

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(40.24)

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对1阶差分运算后序列?xt再进行一次1阶差分运算称为2阶差分,记为?之间的减法运算,即:

2xt,表示?xt与?xt?1?2xt??xt??xt?1

依此类推,对表示?p?1(40.25)

p?1阶差分后序列?p?1xt再进行一次1阶差分运算称为p阶差分,记为?pxt,

xt与?p?1xt?1之间的减法运算,即:

?pxt??p?1xt??p?1xt?1

(40.26)

2. 延迟算子

延迟算子类似于一个时间指针,一个延迟算子乘以当前序列值,就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时间刻度,记B为延迟算子,有

Bxt?xt?1B2xt?xt?2Bpxt?xt?pB0?1B(c?xt)?c?xt?1,nni?0 (40.27)

c为常数n!i!(n?i)!(40.28)

iii(1?B)??(?1)nCnB,其中Cn?用延迟算子表示的k步差分为:

?k?xt?xt?k?(1?Bk)xt

用延迟算子表示的

pp阶差分为:

pp?xt?(1?B)xt??(?1)pCipxt?i

i?0(40.29)

四、 ARMA模型

ARMA模型的全称是自回归移动平均(auto regression moving average)模型,它是目前最常用的

拟合平稳时间序列的模型。ARMA模型又可细分为AR模型、MA模型和ARMA模型三大类。 1.

AR(p)模型

具有如下结构的模型称为

p阶自回归模型,简记为AR(p):

(40.30)

xt??0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t

其中包含三个限制条件:模型的最高阶数为

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p,即?p?0;随机干扰序列?t为零均值的白噪声序列,

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即?t~WN(0,??2);当期的随机干扰与过去的序列值无关,即Exs?t?0,s?t。

1) 中心化的AR(p)模型

当?0?0时,式(40.30)又称为中心化的AR(p)模型。非中心化的AR(p)序列都可以通过假设满

足平稳性条件,在式(40.30)两边取期望

E,根据平稳时间序列均值为常数的性质,有

Ext??,Ext?1??,?,Ext?p??,且因为?t为零均值的白噪声,有E?t?0,所以:

Ext?E(?0??1xt?1??2xt?2????pxt?p??t)???0??1???2?????p????01??1??2????P

(40.31)

如果把非中心化的AR(p)序列减去上式(40.31)中的?,则转化为中心化AR(p)序列。特别地,对于中心化AR(p)序列,有Ext?0。

2引进延迟算子,设?(B)?1??1B??2B化AR(p)模型可以简记为:

????pBP,又称为p阶自回归系数多项式,则中心

?(B)xt??t

2)

(40.32)

AR(p)模型的方差

要得到平稳AR(p)模型的方差,需要借助于Green函数的帮助。下面以求AR(1)模型的方差为

例来说明:

xt??1xt?1??txt?1??1xt?2??t?1将第二式代入第一式,有

xt??t??1?t?1??12xt?2

当我们继续将xt?2

??1xt?3??t?2代入上式,一直到x1??1x0??1,可得到

xt??t??1?t?1??12?t?2????1t?1?1??tx0????i?0t?1i1t?i??x0t

如果t??,设Green函数为Gj??1j,j?0,1,?,上式可改为

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xt????j?0?j1t?j??j?0Gj?t?j

(40.33)

对xt求方差为

Var(xt)??G2jVar(?t?j)j?0????2(1??12??14????12j????1?)

(40.34)

??2?1??123)

AR(p)模型的协方差

对中心化的平稳模型在等号两边同乘xt?k,再求期望得到

E(xtxt?k)??1E(xt?1xt?k)??2E(xt?2xt?k)????pE(xt?pxt?k)?E(?txt?k)

(40.35)

由AR(p)模型的限制条件,有E(?txt?k)?0,再根据平稳时间序列的统计性质,有自协方差函数只依赖于时间的平均长度而与时间的起止点无关,于是可由(40.35)式得到自协方差函数的递推公式:

?(k)??1?(k?1)??2?(k?2)????p?(k?p)

例如,对于AR(1)模型的自协方差函数的递推公式为:

(40.36)

?(k)??1?(k?1)??1?1?(k?2)??1k?(0)

(40.37)

??2??1??12k14)

AR(p)模型的自相关函数

由于平稳时间序列有自相关函数?(k)??(k)/?(0),在自协方差函数的递推公式(40.36)等号两

边同除以方差函数?(0),就得到自相关函数的递推公式:

?(k)??1?(k?1)??2?(k?2)????p?(k?p)

例如,对于AR(1)模型的自相关函数的递推公式为:

(40.38)

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