人教出版2018-2019年度八年级(上)第一次月考数学试卷(含内容规范标准答案)

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△DHF中,∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH, ∴∠DHF=∠CBF=60°,

∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,正确证明三角形全等是关键.

26.如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG. (1)求证:AD=AG;

(2)AD与AG的位置关系如何,请说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】(1)由BE垂直于AC,CF垂直于AB,利用垂直的定义得∠HFB=∠HEC,由得对顶角相等得∠BHF=∠CHE,所以∠ABD=∠ACG.再由AB=CG,BD=AC,利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等,由全等三角形的对应边相等可得出AD=AG,

(2)利用全等得出∠ADB=∠GAC,再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE,又∠GAC=∠GAD+∠DAE,利用等量代换可得出∠AED=∠GAD=90°,即AG与AD垂直. 【解答】(1)证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB, ∴∠HFB=∠HEC=90°,又∵∠BHF=∠CHE, ∴∠ABD=∠ACG, 在△ABD和△GCA中

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∴△ABD≌△GCA(SAS),

∴AD=GA(全等三角形的对应边相等);

(2)位置关系是AD⊥GA, 理由为:∵△ABD≌△GCA, ∴∠ADB=∠GAC,

又∵∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE, ∴∠AED=∠GAD=90°, ∴AD⊥GA.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.

27.如图1,在△ABC中,∠BAC为直角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如图1,则

∠ CAF

(2)若AB=AC,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,问CF、BD有怎样的关系?并说明理由.

②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,直接写出结论.

【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

【分析】(1)根据∠BAD+∠DAC=90°,∠CAF+∠DAC=90°,即可解题;

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(2)易证∠BAD=∠CAF,即可证明△BAD≌△CAF,可得CF=BD,即可解题; (3)易证∠BAD=∠CAF,即可证明△BAD≌△CAF,可得CF=BD,即可解题. 【解答】证明:(1)∵∠BAD+∠DAC=90°,∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF;

(2)①∵∠BAD+∠DAC=90°,∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF, ∵在△BAD和△CAF中,∴△BAD≌△CAF,(SAS) ∴CF=BD;

②∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD,∠CAF=∠CAD+∠DAF=90°+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAF, ∵在△BAD和△CAF中,∴△BAD≌△CAF,(SAS) ∴CF=BD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证△BAD≌△CAF是解题的关键.

28.如图,已知正方形ABCD中,边长为10cm,点E在AB边上,BE=6cm.

(1)如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动,设运动的时间为t秒, ①CP的长为 10﹣4t cm(用含t的代数式表示);

②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等,求a的值.

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿正方形ABCD四边运动.则点P与点Q会不会相遇?若不相遇,请说明理由.若相遇,求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇?

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【考点】四边形综合题.

【分析】(1)①根据正方形边长为10cm和点P在线段BC上的速度为4cm/秒即可求出CP的长; ②分△BPE≌△CPQ和△BPE≌△CQP两种情况进行解答; (2)根据题意列出方程,解方程即可得到答案. 【解答】解:(1)①PC=BC﹣BP=10﹣4t; ②当△BPE≌△CPQ时, BP=PC,BE=CQ, 即4t=10﹣4t,at=6, 解得a=4.8; 当△BPE≌△CQP时, BP=CQ,BE=PC, 即4t=at,10﹣4t=6, 解得a=4; (2)当a=4.8时, 由题意得,4.8t﹣4t=30, 解得t=37.5,

∴点P共运动了37.5×4=150cm, ∴点P与点Q在点A相遇,

当a=4时,点P与点Q的速度相等,∴点P与点Q不会相遇. ∴经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇.

【点评】本题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定和性质,正确运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键.

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