湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.

2

分析: 由已知得2m=a+b,2n=b+c,b=ac,从而

+===

2

=2.

解答: 解:由已知得2m=a+b,2n=b+c,b=ac, ∴+===

[

]

==2.

故选:C.

点评: 本题考查代数和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质的合理运用. 7.(5分)已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限,且顶点A、D分别在x、y的正半轴上(含原点)滑动,则 A. 1

B.

的最大值是()

C. 2

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 令∠OAD=θ,由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上,可得出B,C的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可. 解答: 解:如图令∠OAD=θ,由于AD=1,故0A=cosθ,OD=sinθ,

如图∠BAx=故

﹣θ,AB=1,故xB=cosθ+cos(﹣θ)=cosθ+sinθ,yB=sin(

﹣θ)=cosθ.

=(cosθ+sinθ,cosθ)

=(sinθ,cosθ+sinθ),

?

的最大值是2,

同理可求得C(sinθ,cosθ+sinθ),即∴

?

=(cosθ+sinθ,cosθ)?(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ,

故选C.

点评: 本题考查向量在几何中的应用,设角引入坐标是解题的关键,由于向量的运算与坐标关系密切,所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标,属于中档题. 8.(5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为()

A.

B.

C.

D.2

考点: 由三视图求面积、体积.

专题: 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图想象出空间几何体,代入数据求值.

解答: 解:如图所示,四面体为正四面体.是由边长为1的正方体的面对角线围成. 其边长为, 则其表面积为4×(

×

×

)=2

故选D.

点评: 本题考查了学生的空间想象力,属于中档题.

9.(5分)若曲线C1:x+y﹣2x=0与曲线C2:y(y﹣mx﹣m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是() A. (﹣ (﹣∞,﹣

) )∪(

B. (﹣,+∞)

,0)∪(0,

C. [﹣

] D.

2

2

考点: 圆的一般方程;圆方程的综合应用.

专题: 压轴题;数形结合.

分析: 由题意可知曲线C1:x+y﹣2x=0表示一个圆,曲线C2:y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0,把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径,由图象可知此圆与y=0有两交点,由两曲线要有4个交点可知,圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点,根据直线y﹣mx﹣m=0过定点,先求出直线与圆相切时m的值,然后根据图象即可写出满足题意的m的范围.

解答: 解:由题意可知曲线C1:x+y﹣2x=0表示一个圆,化为标准方程得:

2

2

2

2

(x﹣1)+y=1,所以圆心坐标为(1,0),半径r=1;

C2:y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0, 由直线y﹣mx﹣m=0可知:此直线过定点(﹣1,0), 在平面直角坐标系中画出图象如图所示: 直线y=0和圆交于点(0,0)和(2,0),因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件.

2

2

当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时,圆心到直线的距离d==r=1,

化简得:m=,解得m=±

2

而m=0时,直线方程为y=0,即为x轴,不合题意, 则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时,m∈(﹣

,0)∪(0,

).

故选B.

点评: 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系,考查了数形结合的数学思想,是一道中档题.本题的突破点是理解曲线C2:y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线.

10.(5分)已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×3+a3×3},其中ai∈{1,2,3}(i=0,1,2,3}且a3≠0,则A中所有元素之和等于() A. 3 240 B. 3 120 C. 2 997 D.2 889

考点: 计数原理的应用;数列的求和. 专题: 综合题;排列组合.

分析: 由题意可知a0,a1,a2各有3种取法(均可取0,1,2),a3有2种取法,利用数列求和即可求得A中所有元素之和.

23

解答: 解:由题意可知,a0,a1,a2各有3种取法(均可取0,1,2),a3有2种取法(可取1,2),由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法,

∴当a0取0,1,2时,a1,a2各有3种取法,a3有2种取法,共有3×3×2=18种方法,即集合A中含有a0项的所有数的和为(0+1+2)×18;

同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(3×0+3×1+3×2)×18;

222

集合A中含有a2项的所有数的和为(3×0+3×1+3×2)×18;

33

集合A中含有a3项的所有数的和为(3×1+3×2)×27; 由分类计数原理得集合A中所有元素之和:

22233

S=(0+1+2)×18+(3×0+3×1+3×2)×18+(3×0+3×1+3×2)×18+(3×1+3×2)×27 =18(3+9+27)+81×27=702+2 187=2 889. 故选D.

点评: 本题考查数列的求和,考查分类计数原理与分步计数原理的应用,考查分类讨论与转化思想的综合应用,属于难题.

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11.(5分)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=

考点: 正弦定理. 专题: 计算题.

分析: 由正弦定理可求得 sinB=运算求得结果.

解答: 解:由正弦定理可得

=

,再由 b<a,可得 B为锐角,cosB=,

,∴sinB=,再由 b<a,可得 B为锐角,

∴cosB=故答案为:

=,

点评: 本题考查正弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,求出sinB=角,是解题的关键.

12.(5分)如图,椭圆

,以及B为锐

的长轴为A1A2,短轴为B1B2,将坐标平面沿y轴折成一个

二面角,使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为

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