湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合M={x|x﹣2x<0},N={x|x<a},若M?N,则实数a的取值范围是() A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. (﹣∞,0) D.(﹣∞,0] 2.(5分)给出下面四个命题: p1:?x∈(0,+∞),p2:?x∈(0,1),

2

p3:?x∈(0,+∞),

p4:?x∈(0,),

x,

其中的真命题是() A. p1,p3 B. p1,p4 C. p2,p3 3.(5分)在如图所示的程序框图中输入10,结果会输出()

D.p2,p4

A. 10 B. 11 C. 512 D.1 024 4.(5分)将函数f(x)=sinx+cosx的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的最小值为() A. ﹣

B. C. D.

5.(5分)若实数x、y满足条件,则z=x+3y的最大值为()

A. 9 B. 11 C. 12 D.16 6.(5分)不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下:a、b、c成等比数列,a、m、b和b、n、c都成等差数列,则+=()

A. ﹣2 B. 0 C. 2 D.不能确定 7.(5分)已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限,且顶点A、D分别在x、y的正半轴上(含原点)滑动,则 A. 1

B.

的最大值是()

C. 2

D.

8.(5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为()

A.

9.(5分)若曲线C1:x+y﹣2x=0与曲线C2:y(y﹣mx﹣m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是() A. (﹣ (﹣∞,﹣

10.(5分)已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×3+a3×3},其中ai∈{1,2,3}(i=0,1,2,3}且a3≠0,则A中所有元素之和等于() A. 3 240 B. 3 120 C. 2 997 D.2 889

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.(5分)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=.

2

3

2

2

B. C. D.2

,) )∪(

B. (﹣,+∞)

,0)∪(0,) C. [﹣,] D.

12.(5分)如图,椭圆

的长轴为A1A2,短轴为B1B2,将坐标平面沿y轴折成一个

二面角,使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点,则此二面角的大小为.

13.(5分)若f(x)+

14.(5分)在函数f(x)=alnx+(x+1)(x>0)的图象上任取两个不同点P(x1,y1),Q(x2,y2),总能使得f(x1)﹣f(x2)≥4(x1﹣x2),则实数a的取值范围为. 15.(5分)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a1=1,第2个五角形数记作a2=5,第3个五角形数记作a3=12,第4个五角形数记作a4=22,…,若按此规律继续下去,则a5=,若an=145,则n=.

2

f(x)dx=x,则f(x)=.

三、解答题:本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(12分)设函数

(1)求f(x)的最小正周期.

(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当

时,y=g(x)

的最大值. 17.(12分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目,选手进入正赛前需通过海选,参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选.若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的选

手进入正赛.甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、,且通过各次测试的事件相互独立.

(1)若甲选手先测试A项目,再测试B项目,后测试C项目,求他通过海选的概率;若改变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理由;

(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为p1,第二项能通过的概率为p2,第三项能通过的概率为p3,设他通过海选时参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列和期望(用p1、p、p3表示);并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛. 18.(12分)如图,△ABC的外接圆⊙O的半径为5,CE垂直于⊙O所在的平面,BD∥CE,CE=4,BC=6,且BD=1,cos∠ADB=(1)求证:平面AEC⊥平面BCED;

(2)试问线段DE上是否存在点M,使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.

?若

19.(13分)等比数列an中的前三项a1,a2,a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数,且三个数不在同一列.

(1)求此数列{an}的通项公式;

n

(2)若数列{bn}满足bn=3an﹣(﹣1)lgan,求数列{bn}的前n项和Sn.

20.(13分)已知圆C:(x﹣1)+(y﹣1)=2经过椭圆Γ:

2

2

+=1(a>b>0)的右焦点

F和上顶点B.

(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;

(Ⅱ)过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q,与圆C的交点为P,M为OP的中点,求

?

的最大值.

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