【附加15套高考模拟试卷】湖南省衡阳市第八中学2020届高三下学期第四次月考数学(理)试题含答案

答案 C A A D D B C B C B B B 二、填空题: 13. k=1; 14.

??2;15.x?(-5,0)?(5,+?);16. 1.

17.

18.【解析】(1)如图,连接BD.∵M,N分别为PB,PD的中点,∴在△PBD中,MN∥BD.

又MN?平面ABCD,∴MN∥平面ABCD. (2)如图建系:A(0,0,0),P(0,0,2 6),M?

-3?2,32,6??,N(3,z0,6),C(3,3,0). 设Q(x,y,z),则C=(x-3,y-3,z), PC=(-3,-3,2 6). ∵C=λC=(-3λ,-3λ,2 6λ), ∴Q(3-3λ,3-3λ,2 6λ).

N由A⊥C?A·C=0,得λ=13.即:Q

?2 3?3,2,2 63??. M对于平面AMN:设其法向量为n=(a,b,c).

QADy

∵A=-

??33?,,6,A=(3,0,6). 22?

33??-a+b+6c=0,

2则??2?

??3a+6c=0

??1

?b=3,??c=-186.a=

3

,9

∴n=

?3,1,-6?.

18??93

?3,1,5 6?.

6??3

n·v33

=. |n|·|v|33

同理对于平面QMN,得其法向量为v=

记所求二面角A-MN-Q的平面角大小为θ,则cosθ=∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为

33. 33

19.解:(1)分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为事件A1,A2,A3,E表示事件“甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试”

则:P(E)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) =0.6*0.5*0.6+0.6*0.5*0.4+0.4*0.5*0.4+0.6*0.5*0.4 =0.5

(2) “甲、乙、丙三位同学各自经过两次考试后能被该校预录取”分别记为事件A,B,C.

则P(A)?P(B)?P(C)?0.3

又题意,知所有可能的取值为0,1,2,3.根据事件的独立性和互斥性得

P(X?0)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?0.73?0.343

1P(X?1)?C30.3?0.72?0.441

P(X?2)?C320.32?0.7?0.189

P(X?3)?0.33?0.027

所求分布列为:

P 0 0.343 1 0.441 20. 解 (1)由题意,知抛物线的焦点为F(3,0), 所以c=a2-b2=3.

因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形, 所以b=3×3=1. 3

2 0.189 3 0.027 x22

可求得a=2,故椭圆的方程为+y=1.

4

(2)假设存在满足条件的点E,当直线l的斜率存在时,

设其斜率为k,则l的方程为y=k(x-1).

x??4+y2=1,由?得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0, ??y=k(x-1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),

4k2-48k2

所以x1+x2=2,x1x2=2.

4k+14k+1则=(m-x1,-y1),=(m-x2,-y2), 所以·=(m-x1)(m-x2)+y1y2 =m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2

=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1) 4k2-48k2m4k2-48k2

2

=m-2+2+k(2-2+1)

4k+14k+14k+14k+1

22

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

4k2+1

11

(4m2-8m+1)(k2+)+(m2-4)-(4m2-8m+1)

44

4k2+11741

=(4m2-8m+1)+2. 44k+1

2m-

171733要使·为定值,令2m-=0,即m=,此时·=. 4864当直线l的斜率不存在时,不妨取P(1,

33

),Q(1,-), 22

17939381333

由E(,0),可得=(,-),=(,),所以·=-=. 88282644641733综上,存在点E(,0),使·为定值.

864

2x2?4(x?0),当x?[1,2)时,f?(x)?0.当x?21. 解(1)f?(x)?x?2,e时,f?(x)?0,又

?f(e)?f(1)??4?e2?1?0,故f(x)max?f(e)?e2?4,当x?e时,取等号

(2)易知x?1,故x??1,e?,方程f?x??0根的个数等价于x??1,e?时,

x2x2方程?a?根的个数. 设g?x?=, g?(x)?lnxlnx2xlnx?x2ln2x1x?x(2lnx?1)

ln2x当x?1,e时,g?(x)?0,函数g(x)递减,当x?(e,e?时,g?(x)?0,函数g(x)递增.又

??g(e)?e2,g(e)?2e,作出y?g(x)与直线y??a的图像,由图像知

22当2e??a?e时,即?e?a??2e时,方程f?x??0有2个相异的根; 2当a??e 或a??2e时,方程f?x??0有1个根;

当a??2e时,方程f?x??0有0个根;

(3)当a?0时,f(x)在x?[1,e]时是增函数,又函数y?1是减函数,不妨设1?x1?x2?e,则xf?x1??f?x2??即f(x2)?1111?等价于f(x2)?f(x1)??

x1x2x1x2111?f(x1)?,故原题等价于函数h?x??f(x)?在x?[1,e]时是减函数, x2x1x?h?(x)??y?a11?2x?2?0恒成立,即a??2x2在x?[1,e]时恒成立.

xxx11?2x2在x?[1,e]时是减函数 ?a??2e2 xe22.证明:(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形, ∴∠D=∠CBE,

∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E; (2)设BC的中点为N,连接MN,

则由MB=MC知MN⊥BC,∴O在直线MN上, ∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,∴OM⊥AD, ∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE,

∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE为等边三角形

C(x?1)?(y?1)?2,-------------------2分

23.解:(1)1:

22C2:y?a,-----------------------------------4分

因为曲线

C1关于曲线C2对称,a?1,C2:y?1------5分

|OA|?22sin(??(2)

?4;

)|OB|?22sin(???2)?22cos?

|OC|?22sin?,

|OD|?22sin(??3??)?22cos(??) -----------------------8分 44|OA|?|OC|?|OB|?|OD|?42-----------------------10分

24.解:(Ⅰ)由2x?a?a?6得2x?a?6?a,∴a?6?2x?a?6?a,即a?3?x?3, ∴a?3??2,∴a?1。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f?x??2x?1?1,令??n??f?n??f??n?,

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